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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - 2 \cos^{2} x + a \sin x - 1$ ．

(1)、当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、设 $g (x) = - 3^{x} - 1$ ，若 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ， $\forall x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，都有 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 $f (x) ＝ A sin (\frac{2 π}{3} x + φ)$ $(A > 0, 0 \leq φ < π)$ ，其振幅为2，且经过点 $(1, - 2)$ .

(1)、求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；

(2)、证明： $g (x) + g (x + 1) + g (x + 2)$ 为定值.

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、求函数的最大值及取得最大值时自变量 $x$ 的取值集合；

(3)、求函数的单调递减区间．

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4、已知 $| \overset{⃑}{a} | = 2, | \overset{⃑}{b} | = 1$ ， $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，设 $\overset{⃑}{m} = 2 t \overset{⃑}{a} + 7 \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{n} = \overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b})$ 的值；

(2)、若 $\overset{⃑}{m}$ 与 $\overset{⃑}{n}$ 的夹角是锐角，求实数t的取值范围．

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5、已知 $\sin α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，且 $π < α < \frac{3 π}{2}$ ，求下列各式的值：
(1) $\tan α$ ；
(2) ${(\sin α + \cos α)}^{2} + \frac{\sin (α + 3 π ） + \cos (π + α)}{\sin (- α ） - \cos (π + α)}$ .

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6、已知函数 $f (x) = sin(ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0, x \in R)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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7、将函数 $f (x) = 2 sin x$ 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{32}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ .

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \sqrt{3}$ B、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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9、关于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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10、已知函数 $f (x) = 3 \cos x (x \in [0, π])$ 的图象与函数 $g (x) = 8 \tan x$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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11、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, π)$ ，且 $tan (α - β) = \frac{1}{2}, tan β = - \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β$ 的值是（）

A、 $- \frac{3 π}{4}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$ 或 $\frac{π}{4}$

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12、已知 $cos θ - sin θ = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 4 θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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13、已知 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 B、 $\sin \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α < 0$ D、 $2 α$ 是第三或第四象限角

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14、已知 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 5$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{10} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{10} \vec{b}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{b}$

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15、已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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16、一般地，设A，B分别为函数 $y = f (x)$ 的定义域和值域，如果由函数 $y = f (x)$ 可解得唯一 $x = φ (y)$ 也是一个函数 $($ 即对任意一个 $y \in B$ ，都有唯一的 $x \in A$ 与之对应 $)$ ，那么就称函数 $x = φ (y)$ 是函数 $y = f (x)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y) .$ 在 $x = f^{- 1} (y)$ 中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成 $y = f^{- 1} (x) (x \in B ， y \in A)$ 的形式.比如：函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 的反函数求法为：第一步：反解： $∵ y = x^{2} (x \geq 0)$ ， $∴ x = \sqrt{y}$ ；第二步：互换字母： $∴ y = \sqrt{x}$ ；第三步：求定义域：易知原函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 值域为 $y \geq 0$ ，故反函数定义域为 $x \geq 0$ ，反函数为 $y = \sqrt{x} (x \geq 0) .$ 记函数 $y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 的反函数为 $y = g (x)$ ，且有函数 $y = h (x)$ 满足 $g (x) + h (x) = e^{x} ($ 其中e为自然对数的底数 $) .$

(1)、求函数 $g (x)$ ， $h (x)$ ；

(2)、若关于x的不等式 $λ h (2 x) + h (x) \geq - g^{2} (x) - λ^{2} + 1$ 对 $x \in [- ln 2, ln 2]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $g (x) + 3 h (x) = k$ 有两根 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{2} > x_{1})$ ，求 $\frac{{(e^{x_{1}} + 1)}^{2} + {(e^{x_{2}} - 1)}^{2}}{{(x_{1} + x_{2})}^{2}}$ 的最小值.

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17、为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为 $5 %$ ）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量 $Q$ （百件）与销售价格 $P$ （元）的关系如下图（每段图象为直线段， $A (140 ， 22)$ ， $B (200 ， 10)$ ， $C (260, 4)$ ）.

(1)、请写出月利润L关于P的函数关系式；

(2)、当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；

(3)、该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 $?$
$($ 参考数据： ${1.05}^{8} \approx 1.48$ ， ${1.05}^{9} \approx 1.55$ ， ${1.05}^{10} \approx 1.63$ ， ${1.05}^{11} \approx 1.71, {1.05}^{43} \approx 8.15, {1.05}^{44} \approx 8.56)$

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O是坐标原点，角 $α$ 的终边 $O A$ 与单位圆的交点为 $A$ ，射线 $O A$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $θ$ 弧度后交单位圆于点 $B$ ，记点 $B$ 的纵坐标 $y$ 关于 $θ$ 的函数为 $y = f (θ)$ ，终边 $O B$ 对应角 $β .$

(1)、若 $A (m, - \frac{1}{2})$ ， $m < 0$ ，求 $α$ ；

(2)、对（1）中 $α$ ，若 $f (θ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ ， $θ \in (π, \frac{4 π}{3})$ ，求 $t a n θ$ ；

(3)、若 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ ， $A$ 的纵坐标为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B$ 的横坐标为 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $θ - α$ .

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19、已知定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{4 - x^{2}}$ 图象关于原点对称，且 $f (- 1) = - \frac{1}{3} .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (3^{x} - 1) - \frac{1}{3} > 0.$

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20、已知函数 $f (x) = - x^{2} - p x + q$ ， $A = \{x |f (x) > 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{3 - 2 x}{2 x + 1} > 0\} .$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A = B$ ，求p，q的值；

(3)、若 $f (1) = 0$ ，求 $A .$

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