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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} - 4 x (a > 0)$ ，函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为 $- 1$ 的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 的极小值大于0，求a的取值范围．

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2、某公司组织户外拓展活动，为探究员工参与该活动的积极性与员工的性别是否有关，对公司员工进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
参与户外拓展活动的积极性
性别
合计
女
男
积极参与
75
e
h
不积极参与
m
f
35
合计
100
g
200

(1)、求m，e，f，g，h；

(2)、在公司员工中任选1人，记事件A为“选到的员工是男性”，事件B为“选到的员工积极参与户外拓展活动”，估计 $P (B |\bar{A})$ 的值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，能否认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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3、已知身高互不相同的6个人排成一排，记 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{6}$ 是对应站位为1，2，…，6的各人的身高数据的一个排列，则对任一组 $a_{i - 1} < a_{i}$ 和 $a_{i} > a_{i + 1}$ （ $i = 2, 3, 4, 5$ ），各组中的两个不等关系至少有一个成立的概率为．

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4、已知函数 $f (x) = \ln |\frac{a}{x} - b|$ （ $a \neq 0$ ， $a, b \in R$ ）的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，则 $a b =$ ．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = - 2$ ， $a_{4} = 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前5项和 $S_{5} =$ ．

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6、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与动圆 $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C、双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(1, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60^{\circ}$

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7、已知函数 $f (x) = \sin (x + α)$ ， $g (x) = \cos (x + β)$ ，则下列结论一定正确的有（）

A、若 $α = β$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于y轴对称 C、若 $α - β = π$ ，则将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图象 D、若 $α - β = \frac{3 π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的单调区间

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8、已知一批产品的某项质量指标 $X ~ N (18, σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (15 < X \leq 18) = 0.4$ ，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标 $X \in (15, 21)$ 的产品件数，则（）

A、 $E (X) = 18$ B、 $P (Y = 1) = 0.0512$ C、 $P (X > 21) = 0.1$ D、 $D (Y) = 0.64$

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9、设函数 $f (x) = (e^{x + 2} - a) \ln (x - b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{2} - b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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10、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，过 $B_{1} C_{1}$ 的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成体积相等的两部分，则 $\frac{A E}{E B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} - \frac{8}{5} a c$ ，且AB边上的高等于 $\frac{3}{2} A B$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{6 \sqrt{13}}{65}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{20}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$

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12、已知 $7 sin α = 3 cos 2 α$ ，则下列四个点中，在角 $α$ 的终边上的可以是（）

A、 $(3, 1)$ B、 $(1, 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- 1, \frac{1}{3})$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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14、已知复数z满足 $i^{5} \cdot z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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15、下列抛物线中，准线方程为 $y = - \frac{1}{8}$ 的是（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = \frac{1}{4} x$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 4 x^{2}$

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16、已知集合 $M = \{x | - 1 < x < 3\}$ ， $N = \{x |x^{3} \geq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[1, 3)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $[1, + \infty)$

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17、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = \ln x + x$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $h (x) = f (x) - a g (x)$ ，
（i）当 $a = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值；
（ii）若 $h (x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + x_{2} - 2} > \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ .

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18、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $C$ 在点 $A (2, 1)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线与 $C$ 交于 $B, D$ 两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、比较 $| G A |^{2}$ 与 $|G B| \cdot |G D|$ 的大小，并说明理由；

(3)、过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $T (0, 2)$ ，线段 $P T, Q T$ 的延长线分别交 $C$ 于点 $M$ ， $N$ ，试判断直线 $M N$ 是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $\frac{b_{n + 1}}{2 n + 1} = \frac{b_{n}}{2 n - 1}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、将 $\{b_{n}\}$ 中的项按从小到大的顺序插入 $\{a_{n}\}$ 中，且在任意的 $a_{k}, a_{k + 1}$ 之间插入 $(2 k - 1)$ 项，从而构成一个新数列 $\{c_{n}\}$ ，设 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ .

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20、某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
7
10
米色内饰
3
5

(1)、若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件 $A$ 为抽到的模型为红色外观，事件 $B$ 为抽到的模型是米色内饰，求 $P (B), P (B ∣ A)$ ，并据此判断事件 $A, B$ 是否相互独立；

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列与期望.

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参与户外拓展活动的积极性	性别		合计
参与户外拓展活动的积极性	女	男	合计
积极参与	75	e	h
不积极参与	m	f	35
合计	100	g	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828

	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	7	10
米色内饰	3	5