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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}, B = \{x |(x - 1) (x - 3) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x < 3\}$

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2、椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $B (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求椭圆C的方程及短轴长；

(2)、已知：过定点 $A (2, 3)$ 作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．

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3、某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（1）当 $a = b = 3$ 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 $m$ ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 $n$ ，比较 $m, n$ 的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记 $X$ 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（3）若 $a = 1$ ，记乙型号电视机销售量的方差为 $s^{2}$ ，根据茎叶图推断 $b$ 为何值时， $s^{2}$ 达到最小值．（只需写出结论）

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4、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3 A B = 3 B C = 6$ ，点F是 $B B_{1}$ 的中点，点P在 $C C_{1}$ 上，若过FP的平面 $α$ 交 $A A_{1}$ 于E，交 $D D_{1}$ 于Q．

(1)、求证： $E F //$ 平面PBQ；

(2)、若点Q是 $D D_{1}$ 的中点，且 $P C_{1} = 1$ ，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足 $H A_{1} ⊥$ 平面 $α$ ，求点H的坐标．

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5、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满 $(b - a) (\sin B + \sin A) = c (\sqrt{3} \sin B - \sin C)$ .
（1）求 $A$ 的大小；
（2）再在① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中，选出两个使 $△ A B C$ 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、已知直线 $l : y = k x + b$ 和曲线 $C : y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，给出下列四个结论：
①存在实数 $k$ 和 $b$ ，使直线 $l$ 和曲线 $C$ 没有交点；
②存在实数 $k$ ，对任意实数 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 恰有 $1$ 个交点；
③存在实数 $b$ ，对任意实数 $k$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $2$ 个交点；
④对任意实数 $k$ 和 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $3$ 个交点．
其中所有正确结论的序号是．

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7、在等腰梯形 $A B C D$ 中，设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{D C} = 2 \overset{⃑}{A B}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则 $\overset{⃑}{A M}$ =（用 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ 表示），当 $x =$ 时， $| \overset{⃑}{b} - x \overset{⃑}{a} |$ 最小.

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8、若双曲线经过点 $(1, \sqrt{3})$ ，其渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的方程是.

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9、设 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} =$ ；当 $a_{8} = - a_{9}$ 时， $n =$ ．

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10、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\lg (x + 1)}$ 的定义域为．

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11、在直角坐标系 $x O y$ 中，全集 $U = \{(x, y) |x, y \in R\}$ ，集合 $A = \{(x, y) |x \cos θ + (y - 4) \sin θ = 1, 0 \leq θ \leq 2 π\}$ ，已知集合A的补集 $∁_{U} A$ 所对应区域的对称中心为M，点P是线段 $x + y = 8$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 $△ M P Q$ 周长的最小值为（）

A、24 B、 $4 \sqrt{10}$ C、14 D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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12、在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位： ${W/m}^{2}$ ）的相对大小，具体关系式为 $y = 10 \lg (\frac{I}{I_{0}})$ ，其中基准值 $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ .若声强度为 $I_{1}$ 时的声强级为60dB，那么当声强度变为 $4 I_{1}$ 时的声强级约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）

A、63dB B、66dB C、72dB D、76dB

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13、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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14、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得 $| A P | + | P F |$ 的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(4, 4)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(3, 4)$

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15、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{n} = n^{2} - n$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = |1 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \sqrt{2} i$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、设 $A = \{x |x > 1\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E的左顶点N到点 $M (1, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程．

(2)、过点M作斜率和为2的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若 $△ M N B$ （点B在点A的下方）的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1, \\ a_{n} + 2, n = 2 k, \end{array}$ $k \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{3}{2}$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点， $A B ∥$ 平面 $P O C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的外接球 $Q$ 的表面积．

(3)、若 $B D = B C$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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