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相关试卷

1、如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点E是 $A B$ 的中点，点F是 $B C$ 的中点，将 $△ A E D, △ D C F$ 分别沿 $D E 、 D F$ 折起，使A､C两点重合于点A^' ，连接 $E F 、 A^{'} B$ .

(1)、求证： $A^{'} D ⊥ E F$ ；

(2)、求直线 $A^{'} D$ 与平面 $E F D$ 所成角的正弦值.

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2、如图， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $△ A B D$ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，且 $C D = 2$ .
（1）求证：平面ABC $⊥$ 平面ABD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值.

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3、已知 $△ A B C$ 的两顶点坐标为 $A (1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $B_{1} (0, 1)$ 是边 $A B$ 的中点， $A D$ 是 $B C$ 边上的高．

(1)、求 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、求高 $A D$ 所在直线的方程.

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4、已知四边形 $M N P Q$ 的顶点 $M (1, 1), N (3, - 1), P (4, 0), Q (2, 2)$ .

(1)、求斜率 $k_{M N}$ 与斜率 $k_{P Q}$ ；

(2)、求证：四边形 $M N P Q$ 为矩形.

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5、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 0, 1)$ ， $\vec{A C} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{A D} = (- 1, 1, 0)$ ．

(1)、求 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 的一个法向量．

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6、已知直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ 且与x轴、y轴分别交于 $A (a, 0), B (0, b) (a > 0, b > 0)$ 两点，O为坐标原点，则 $|O A| + 2 |O B|$ 的最小值为.

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7、设空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, y)$ ， $\vec{b} = (x, 2, - 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ＝．

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8、过点 $(2, 1)$ ，且垂直于 $x$ 轴的直线方程是.

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9、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 2), B (0, 1, 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、 $\overset{⃑}{A B} = (- 1, - 1, 3)$ B、若 $\vec{m} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{m} ⊥ \overset{⃑}{A B}$ C、点A关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标为 $(1, - 2, 2)$ D、 $| A B | = \sqrt{5}$

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10、如图，四个棱长为 $1$ 的正方体排成一个正四棱柱， $A B$ 是一条侧棱， $P_{i} (1, 2, \dots, 8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{i}} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的不同值的个数为（　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11、如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且 $A D = A E = 2$ ， F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ C、 $(0, - 1, - 1)$ D、 $(- 1, 0, - 1)$

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13、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

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14、若如图中的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, - 5, - 6)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2, - 1, - 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $|\vec{a}| = 6$

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16、直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 的斜率及在 $y$ 轴上的截距分别为（）

A、 $\frac{3}{4}$ ， $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$ ， $\frac{2}{3}$

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17、在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in {0, 1}, i = 1, 2, 3$ ，而在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in {0, 1} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ ．现有如下定义：在 $n$ 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots \dots, b_{n})$ 坐标差的绝对值之和，即为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ ．回答下列问题：

(1)、求出 $n$ 维“立方体”的顶点数；

(2)、在 $n$ 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离．
①求 $X$ 的分布列与期望；
②求 $X$ 的方差．

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18、已知 $P (x, y)$ 在曲线 $C : x + 1 = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ，直线 $l : y = k (x - 1)$ 交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若过 $(1, 0)$ 且与l垂直的直线 $l^{'}$ 与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限）
（ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值．
（ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．

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19、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °, A C = 2$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离．

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20、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{2 x}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{3}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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