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相关试卷

1、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $(1, 0)$ ，且经过点 $A (0, 1)$ ，设O为原点，直线 $l : y = k x + t (t \neq \pm 1)$ 与椭圆 $Г$ 交于两个不同点P，Q，

(1)、求椭圆 $Г$ 的方程；

(2)、若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且 $|O M| \cdot |O N| = 2$ ，求证：直线l经过定点；

(3)、若 $A P ⊥ A Q$ ，求 $△ A P Q$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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2、某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为 $\frac{2}{5}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

(1)、若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2)、若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

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3、某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金 $1.5$ 千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …

(1)、写出 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，并证明数列 $\{a_{n} - 3\}$ 是等比数列；

(2)、至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O， $O P ⊥$ 底面ABCD，点M为PC中点， $A C = 2$ ， $B D = 1$ ， $O P = 2$ ．

(1)、求异面直线AP与BM所成角；

(2)、求平面ABM与平面PAC所成锐二面角

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，存在正整数 $t (t \leq 8)$ ，使得 $b_{n + t} = b_{n}$ ， $n \in N$ ， $n \geq 1$ .若集合 $S = \{x | x = b_{n}, n \in N, n \geq 1\}$ 中只含有4个元素，则t的可能取值有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、设正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，高为2，平面 $α$ 经过顶点 $A$ ，且与棱 $A B, A D, A A_{1}$ 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面 $α$ 共有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则（）

A、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 1$ B、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ C、 $P (A) = 1 - P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$

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8、设 $a$ 、 $b$ 均为非零实数且 $a > b$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{- 2} > b^{- 2}$ B、 $a^{- 1} > b^{- 1}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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9、已知 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ， \vec{c} = (m ， 1 - m) ， \vec{d} = (n ， 1 - n) (m ， n \in R) ，$ 存在 $\vec{a} ， \vec{b} ，$ 对于任意的实数 $m, n$ ，不等式 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}| + |\overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{d}| \geq T ，$ 则实数T的取值范围为．

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M在双曲线C的右支上， $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，若 $M F_{1}$ 与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且 $|N F_{1}| - |O N| = 2$ ，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为．

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11、已知 $f (x)$ 是以 $2$ 为周期的偶函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，那么在区间 $(- 1, 3)$ 内，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x + k (k \in R)$ 有 $4$ 个根，则 $k$ 的取值范围是

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12、若 ${(x + 2)}^{n} = x^{n} + \dots + a x^{3} + b x^{2} + c x + 2^{n}$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 3$ ），且 $a : b = 3 : 2,$ 则 $n$ =.

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13、在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $∠ A B C =$ ．（结果用反三角函数值表示）

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14、一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是．

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15、某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
人数
36
72
64
172

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16、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $|f^{'} (x)| \leq 1$ 对任意 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的“一阶有界函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = e^{x}$ 是否为 $R$ 上的“一阶有界函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的“一阶有界函数”，且 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，设 $A$ ， $B$ 为函数 $f (x)$ 图象上相异的两点，直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，试判断“ $0 < k \leq 1$ ”是否正确，并说明理由；

(3)、若函数 $h (x) = e^{x} + a x^{3} - e x^{2} - (a - 1) x$ 为区间 $[0, 1]$ 上的“一阶有界函数”，求 $a$ 的取值范围．

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17、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3, 1)$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $P$ 的 $M, N$ 两点，且直线 $P M, P N$ 均不与 $x$ 轴垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M N = \sqrt{10}$ ，求 $M N$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M //$ 平面 $P C D$ ?若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sin^{2} x - \cos^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos α + \cos (α - \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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20、某学校食堂有 $A, B$ 两家餐厅，张同学第1天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ．从第2天起，如果前一天选择 $A$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；如果前一天选择 $B$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设他第 $n$ 天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值及 $P_{n + 1}$ 关于 $P_{n}$ 的表达式；

(2)、证明数列 $\{P_{n} - \frac{2}{3}\}$ 是等比数列，并求出 $\{P_{n}\}$ 的通项公式．

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类别	老年教师	中年教师	青年教师	合计
人数	36	72	64	172