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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = \frac{1}{2} A B = 1, E, F$ 分别是线段 $B D$ 和 $P C$ 上的动点，且 $\frac{B E}{B D} = \frac{P F}{P C} = λ (0 < λ \leq 1)$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值；

(3)、若直线 $A E$ 与线段 $B C$ 交于M点， $A H ⊥ P M$ 于点H，求线段 $C H$ 长的最小值．

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2、如图1，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 的中点， $A C \cap B D = O_{1}$ ， $A C \cap M N = G$ ．沿 $M N$ 将 $△ C M N$ 翻折到 $△ P M N$ 的位置，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ，得到如图2 所示的五棱锥 $P - A B M N D$ ．

(1)、在翻折过程中是否总有平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A G$ ？证明你的结论；

(2)、若平面 $P M N ⊥$ 平面 $M N D B$ ，线段 $P A$ 上是否存在一点Q，使得平面 $Q D N$ 与平面 $P M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值；

(2)、在 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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4、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C$ 中， $C A = C B = 1, ∠ B C A = 90^{°}, A A_{1} = 2, M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} A$ 的中点．

(1)、求BN的长；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{B A_{1}}, \vec{C B_{1}}⟩$ 的值．

(3)、求证：BN⊥平面 $C_{1} M N$ ．

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5、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若 $A B = 25 m$ ， $B C = 10 m$ ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为.

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6、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P D = 1$ ， $A B = 3$ ， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $P G$ 与平面 $P A D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为.

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7、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为2，底面边长为1， $M$ 是 $B C$ 的中点．在直线 $C C_{1}$ 上求一点 $N$ ，当 $C N$ 的长为时，使 $M N ⊥ A B_{1}$ ．

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8、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{C G} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A A_{1}}$ B、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ C、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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9、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = 1$ 时，点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上 B、当 $μ = 1$ 时，点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 在以 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点为端点的线段上 D、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时， $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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10、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $D B_{1} = 3$ B、向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A C_{1}}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、平面 $A E F$ 的一个法向量是 $(4, - 1, 2)$ D、点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{8 \sqrt{21}}{21}$

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11、“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 $O$ ）.如图：已知粽子三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = A B = A C = B C$ ， $H$ 、 $I$ 、 $J$ 分别为所在棱中点， $D$ 、 $E$ 分别为所在棱靠近 $P$ 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面 $C D E$ 或平面 $H I J$ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{18} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{27} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{54} π$

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12、在四面体 $O A B C$ 中，空间的一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + λ \vec{O C}$ ．若 $\vec{M A}, \vec{M B}, \vec{M C}$ 共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{7}{12}$

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $M, N$ 分别为棱 $B C, P D$ 上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $G$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} G = λ (0 < λ < 2)$ ，则点 $G$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} λ}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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15、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 1, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{(a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、2

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16、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ，满足 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} \cos B + \cos C = 1$ ，点D为边BC的中点，求AD的长．

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17、某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 $[50, 60), [60, 70), \cdot \cdot \cdot, [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中 $x$ 的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在 $[50, 60)$ 内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为 $[50, 60)$ 的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

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18、已知 $f (x) = \frac{sin (π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (2 π + α) sin (\frac{3 π}{2} - α) sin (- π - α)}$

(1)、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，求 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $4 {sin}^{2} α - 3 sin α cos α$ 的值.

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19、已知在 $△ O A B$ 中，点 $D$ 在线段 $O B$ 上，且 $O D = 2 D B$ ，延长 $B A$ 到 $C$ ，使 $B A = A C$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{D C}$ 共线，求 $k$ 的值.

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20、18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $Ω$ 的统一体积公式 $V = \frac{1}{6} h (L + 4 M + N)$ （其中 $L$ ， $N$ ， $M$ ， $h$ 分别为 $Ω$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 $R$ ，可得该球的体积为 $V = \frac{1}{6} \times 2 R (0 + 4 \times π R^{2} + 0) = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；已知正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $h$ ，可得该正四棱锥的体积为 $V = \frac{1}{6} \times h [0 + 4 \times {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}] = \frac{1}{3} a^{2} h$ .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 $O$ 的表面积为 $16 {πcm}^{2}$ ，若用距离球心 $O$ 都为1cm的两个平行平面去截球 $O$ ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $Π$ 的体积为 ${cm}^{3}$ .

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