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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{3} = 6$ ， $a_{6} = 12$ ，且 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n} + 1, n 为偶数 \\ 2^{a_{n}} ， n 为奇数 \end{cases}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $T_{n}$ ，求 $T_{20}$ 的值(结果可以用幂的形式表示）.

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2、已知函数 $f (x) = a \ln x + e^{x}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围为．

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3、已知随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}, P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) =$ ．

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4、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是．

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = - 2$ ， $a_{3} = - 8$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $a_{4} + a_{5} = - 12$ C、 $S_{6} = 42$ D、数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 是公比为4的等比数列

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6、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，则该圆的面积为（）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $5 π$ D、 $\sqrt{5} π$

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7、设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、74 B、 $- 74$ C、64 D、 $- 64$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 f' (0) s i n x$ ，则 $f' (0) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $1$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} - 3$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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11、从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（）

A、 $27$ B、 $28$ C、 $29$ D、 $30$

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12、2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中 $M E$ 长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A_{1} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $A_{1} M$ 和 $A_{n} N$ 的长；

(3)、按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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13、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．

(1)、若函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (- x)$ ，试求 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，求函数 $y = f (2 x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的增区间；

(3)、若向量 $\vec{O A} = (0, 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos C = f (\frac{π}{6})$ ，若点G为该 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 的值．

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14、若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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15、已知复数z在复平面上对应的向量 $\vec{O Z} = (- 1, 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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16、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值可为（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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17、如图所示，在正方形ABCD中，已知| $\vec{A B}$ |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 $\vec{A B} \cdot$ $\vec{A N}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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18、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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19、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $1 - p$ ，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ 获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以 $3 : 2$ 获胜，则胜者得2分，败者得1分．

(1)、求甲获得3分的概率；

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，设甲的总得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知甲在比赛中的总得分 $X$ 的分布列由 $p$ 决定．定义意外指数为 $U (p) = P (X = 1) + P (X = 2)$ ．
①求 $U (p)$ 的表达式，并比较 $U (p)$ 和 $U (1 - p)$ 的大小关系；
②求 $U (p)$ 在 $p \in (0, 1)$ 上的最大值及取得最大值时的 $p$ 值．

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20、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ ．

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