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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} ln x$ .

(1)、证明：当 $a > 0$ 时，直线 $y = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a > 1$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 的极大值点和极小值点，记 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ，证明：直线 $A B$ 与曲线 $y = f (x)$ 有异于 $A$ ， $B$ 的交点.

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 经过 $(4, 0)$ ， $(0, 3)$ ， $(4 \sqrt{2}, - 3)$ 三个点中的两个，若 $O$ 为原点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $x = - \frac{12}{5}$ 上，且 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求 $C$ 的渐近线方程：

(2)、求 $△ A O B$ 面积S的最小值：

(3)、证明：直线 $A B$ 与定圆相切，并求出该定圆的方程.

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3、已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；

(2)、用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $\frac{P (χ^{2} \geq k) |0.050| 0.010 ∣ 0.001}{k |3.841| 6.635 ∣ 10.828}$ .

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4、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $A C = 3$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 在边 $B C$ 上， $△ A B D$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B D$ ：

(2)、求 $△ A C D$ 的周长.

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5、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为6，侧棱长为3，点 $P$ 在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若 $P A ⊥ P B_{1}$ ，则 $P$ 的轨迹长度为.

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6、若一个 $n$ 位数，各位数从高到低分别为 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} (n \geq 2)$ ，且满足 $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{n}$ ，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有个.

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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8、已知函数 $f (x) = a x + ln (1 - \frac{2 b}{x})$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ，且 $b \neq 0$ 时， $f (x)$ 没有零点 B、曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形 C、当 $a b > 0$ 时， $f (x)$ 在定义域内是单调函数 D、当 $a b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值

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9、已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$ C、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{3}{8}$ D、若 $P (B ∣ A) = \frac{1}{8}$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = \frac{7}{8}$

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10、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 的焦距小于 $C_{2}$ 的焦距 B、 $C_{2}$ 可能为等轴双曲线 C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 恰有四个公共点

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11、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 为函数 $f (x) = sin (ω x + φ) - sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的3个相邻零点，若 $2 (x_{2} - x_{1}) = x_{3} - x_{2}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，若 $\cos ∠ O F M = \frac{3}{5}$ ，则 $M$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{p}{4}$ B、 $\frac{p}{6}$ C、 $\frac{p}{8}$ D、 $\frac{p}{16}$

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13、若 $sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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14、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 1$ ，则 $S_{9}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、已知根据如下数据，可得到 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.25 x + 14.84$ ，则3号观测的残差（精确到0.1）为（）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$x$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
$y$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7

A、0.5 B、 $- 0.5$ C、0.6 D、 $- 0.6$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f [f (x + 4)], x < 2, \\ 2 x - 5, x \geq 2, \end{array}$ 则 $f (0) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、若 $i \cdot z = 2 - i$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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18、已知集合 $A = \{x \in N ∣ - 1 < x < 4\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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19、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， M，N分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{2}$ ， $θ = \frac{π}{6}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为r的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ， $△ A B C$ 的面积为S．

(1)、求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ；

(2)、已知 $p = 15$ ， $S = 15 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆半径r；

(3)、已知 $p = 8$ ，且 $c^{2} = 6 (a \cos B + b \cos A)$ ，求S的最大值．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
$y$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7