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相关试卷

1、对于定义域为 $[0, 1]$ 的函数 $f (x)$ ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的 $x \in [0, 1]$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；② $f (1) = 1$ ；③若 $x_{1} \geq 0$ ， $x_{2} \geq 0$ ， $x_{1} + x_{2} \leq 1$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) \geq f (x_{1}) + f (x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为理想函数．

(1)、若函数 $f (x)$ 为理想函数，求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x) = 2^{x} - 1 (x \in [0, 1])$ 是不是理想函数，并予以证明．

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2、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 a x - 3 a + 2 (a \in R)$ ．

(1)、若方程 $f (x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最大值为1，求实数 $a$ 的值．

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3、甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，甲、丙比赛，甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙、丙比赛，乙获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为.

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4、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = \frac{5 π}{6}, a = 2 \sqrt{7}, c = \sqrt{3} b$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方体的中心， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、动点 $F$ 的轨迹是一条线段 B、直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是随点 $F$ 的运动而变化的 D、若过 $A$ ， $M$ ， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， $Q$ 为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最大值为 $2 \sqrt{2}$

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 $(\sqrt{3}, 2)$

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7、已知 $α, β$ 为锐角， $\cos α = \frac{1}{7}$ ， $\sin (α + β) = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{71}{98}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{71}{98}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 为 $\frac{2π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 与点 $D$ ．已知 $A D = 2$ ，且 $λ \vec{A B} = \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A C} (λ \in R)$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、9 C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、6

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9、石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（）
（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积 $V = \frac{1}{3} π (3 R - h) \cdot h^{2}$ ，其中 $R$ 为原球半径， $h$ 为球缺的高．）

A、4374 $π$ cm³ B、5048 $π$ cm³ C、5336 $π$ cm³ D、7260 $π$ cm³

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10、已知 $f (x) = \cos (x + φ)$ ，则“ $f (1) + f (- 1) = 0$ ”是“ $f (x)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知 $z = {(1 + i)}^{2025} \div 2^{\frac{2025}{2}}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ B、 $- i$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $i$

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12、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 的所有可能取值为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .

(1)、证明：当且仅当 $n = 1$ 时， $H (X) = 0$ ；

(2)、若 $n = 3$ ，且 $p_{k + 1} - p_{k} = p_{1} (k = 1, 2)$ ，比较 $H (X)$ 与1的大小；

(3)、重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为 $X$ ，求 $H (X)$ .

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13、为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10

(1)、若把年龄在 $[20, 40)$ 的锻炼者称为青年，年龄在 $[40, 60]$ 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；

(2)、从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 $[30, 40)$ 与 $[50, 60]$ 的人数分别为 $X, Y, ξ = |X - Y|$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望；

(3)、已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
附：
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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14、已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．

(1)、求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；

(2)、求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．

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15、 $A$ 、 $B$ 为 $y = 1 - x^{2}$ 上在 $y$ 轴两侧的点，过 $A$ 、 $B$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值为.

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16、已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = \frac{1}{2}$ ， $P (ξ > 3) = \frac{5}{6}$ ， $P (3 < ξ \leq 5) =$ .

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17、某同学用收集到的6组数据对 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，样本相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，样本相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ，（其中决定系数 $R^{2}$ 是样本相关系数 $r$ 的平方，即 $R^{2} = r^{2}$ ，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（）

A、 ${\hat{b}}_{1} > 0$ B、 ${\hat{b}}_{2} < 0$ C、直线 $l_{1}$ 恰好过点C D、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$

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18、小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使 $P (X = 6)$ 最大的N值估计N的取值并计算 $E (X)$ .（若有多个N使 $P (X = 6)$ 最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（）

A、 $E (X) > 6$ B、 $E (X) < 6$ C、 $E (X) = 6$ D、 $E (X)$ 与6的大小无法确定

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19、已知点 $P$ 在曲线 $y = 2 x^{2} - \ln x$ 上，点 $Q$ 在 $y = 3 x - 4$ 直线上，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $d = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $d = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $d = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $d = \frac{\sqrt{13}}{13}$

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20、设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$ ，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{20}{27}$

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年龄次数	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
每周0～2次	70	55	36	59
每周3～4次	25	40	44	31
每周5次及以上	5	5	20	10

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828