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相关试卷

1、直线 $l$ 过点 $M (- 1, 1)$ 且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点为 $M$ 则直线 $l$ 的斜率为.

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2、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 m y + 1 = 0 (m \in R)$ 的面积被直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 平分，圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是.

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3、在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为 $\vec{u} = (2, - 3)$ ，则直线l的斜率为．

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4、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ ， $R$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $A Q = λ A A_{1}$ ， $B_{1} R = λ B_{1} B (0 < λ < 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $λ$ ，使得 $C A_{1} / /$ 平面 $P Q R$ B、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $\frac{17 π}{2}$ C、对于任意的 $λ \in (0, 1)$ ，四棱锥 $P - A B R Q$ 的体积为定值 D、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $P Q R$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{29}}{29}$

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5、已知以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点的椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，且点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最大距离是点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最小距离的3倍，连接 $P F_{2}$ ，并延长 $P F_{2}$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $Q$ ，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、三角形 $P Q F_{1}$ 的周长为 $8$ D、 $\frac{1}{|P F_{2}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|} = \frac{4}{3}$

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6、已知直线 $l_{1}$ 过点 $A (0, 1)$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = x$ 的交点 $B$ 在第一象限，点 $O$ 为坐标原点.若三角形 $O A B$ 为钝角三角形时，则直线 $l_{1}$ 的斜率的范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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7、已知直线 $m x - y - 2 m - 1 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8、在棱长为 $2 a$ 的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $C D$ 的中点，则直线 $A C$ 与直线 $B M$ 所成角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、与 $a$ 的值有关

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9、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，则下列式子中与 $\overset{⃑}{D_{1} M}$ 相等的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$

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10、已知两条直线 $l_{1} : (m + 1) x + y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或1 B、 $- 2$ C、1 D、 $- \frac{2}{3}$

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11、若直线 $l : y = tan \frac{π}{4}$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $α =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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12、已知直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 a x = 0 (a > 0)$ 相切，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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13、已知 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、求证 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) + \frac{k}{2^{x} + 1}$ ，是否存在实数 $k$ ，使得对于区间 $[1 ， 2]$ 上任意三个实数 $r ， s ， t$ ，都存在以 $h (r) ， h (s) ， h (t)$ 为边长的三角形？若存在，求实数 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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14、人教A版高中数学必修一教材中指出：函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．类比上述推广结论可知，函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数，同理可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a)$ 为偶函数．

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ ，求证： $f (x)$ 为轴对称图形并求出其对称轴；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ．
（i）求 $g (x)$ 的解析式，并写出 $g (x)$ 的单调区间（单调区间无需证明）；
（ii）求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集．

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15、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $a f (x) + (1 - a) x - 1 < 0$ ．

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16、当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前 $x (x \in N^{*})$ 年，设备维护成本共 $(700 x^{2} - 300 x)$ 万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元.

(1)、写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)、使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由.

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17、化简求值：

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{4}} - 4^{0} \times 2^{- 1} - {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + {0.125}^{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、已知 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，求 $10^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；

(3)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 5$ ，求 $a + a^{- 1}$ 的值．

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18、设函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (- x)$ ，若两函数在区间 $[m ， n]$ 上的单调性相同，则把区间 $[m ， n]$ 叫做 $y = f (x)$ 的“稳定区间”．已知区间 $[1, 2025]$ 为函数 $y = |{(\frac{1}{2})}^{x} + a|$ 的“稳定区间”，则实数 $a$ 的取值范围为．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a^{x} ， x < 0 \\ (a - 2) x + 3 a ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为．

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20、若函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} + (m - 1) x + 7$ 是定义在 $(- 2 n ， 3 n - 3)$ 上的偶函数，则 $m + n =$ ．

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