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相关试卷

1、到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设 $F_{1} (- c, 0)$ 和 $F_{2} (c, 0)$ 且 $c > 0$ ，动点 $M$ 满足 $|M F_{1}| \cdot |M F_{2}| = a^{2} (a > 0)$ ，动点 $M$ 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，则下列描述正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程是 $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = a^{2}$ B、曲线 $C$ 关于坐标轴对称 C、曲线 $C$ 与 $x$ 轴没有交点 D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} a^{2}$

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2、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $F$ 为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（）

A、拋物线的准线方程为 $x = - 1$ B、若直线 $A B$ 过 $F$ ，且 $A B ⊥ x$ 轴，则 $|A B| = 4$ C、若直线 $A B$ 过 $F$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 1$ D、若 $|A B| = 6$ ，则 $A B$ 的中点到 $y$ 轴距离的最小值为2

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（）

A、 $\{a_{n} + 3\}$ B、 $\{a_{n}^{2}\}$ C、 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ D、 $\{2 a_{n}\}$

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作一条直线与双曲线右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，坐标原点为 $O$ ，若 $|O A| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $|B F_{1}| = 5 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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5、若直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + m - 1 = 0$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的取值不可能为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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6、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 5$ ， $a_{m} = 3$ ，则 $a_{m + 2}$ 等于（）

A、13 B、 $3 - \frac{4}{m - 1}$ C、 $3 - \frac{2}{m - 1}$ D、 $5 - \frac{2}{m - 1}$

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7、已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左、右焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、4 D、5

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8、圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$

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9、 $P$ 、 $Q$ 分别为 $6 x + 8 y - 20 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 5 = 0$ 上任意一点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、6

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10、在空间直角坐标系中， $A (2, 3, 5)$ ， $B (3, 1, 4)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、6 C、29 D、 $\sqrt{29}$

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11、抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{4}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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12、已知偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (4) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (0, 4)$ C、 $(- 4, 0) \cup (- 1, 4)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$

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13、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} = (1, 2)$ ．

(1)、若 $\vec{b} = (0, 1)$ ，求 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的坐标和 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{b} = (2, m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数m的值；

(3)、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的数量为2，求 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ ．

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14、已知 $- \frac{π}{2} < α - β < \frac{π}{2}, sin α - 2 cos β = 1, cos α + 2 sin β = \sqrt{2}$ ，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、要得到函数y=sin(2x+ $\frac{π}{6}$ )的图像，只需把函数y=sin2x的图像

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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16、已知向量 $\vec{m} = (2, - 1)$ ， $\vec{n} = (1, k)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点到两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ，且其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）如图，已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = 3$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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18、在平面直角坐标系中， $N (1, 0)$ ， $M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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20、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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