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相关试卷

1、计算下列各式：

(1)、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{1}{3}} + 2025^{0} - {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{4}} {(\frac{3}{2})}^{- \frac{3}{4}}$ ；

(2)、已知 $a + a^{- 1} = 7$ ，求 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ 的值.

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2、对于实数 $a$ 和 $b$ 定义运算“ $⋅$ ”： $a \cdot b = \{\begin{cases} \frac{a - b}{a}, a \leq b \\ \frac{b}{b - a}, a > b \end{cases}$ ，设 $f (x) = (2 x - 1) \cdot (x - 2)$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) \leq 0 (m < 0)$ 恰有3个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，则实数 $a$ 的值为．

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4、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则 $f (x) =$ .

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5、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $[m, n] \subseteq D$ ，若 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[k m, k n]$ ，则称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ -跟随区间”，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = |x - 1|$ 的一个“ $1 -$ 跟随区间”是 $[0, 1]$ B、函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ 一定存在“ $1 -$ 跟随区间” C、函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 存在“3-跟随区间” D、若函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 存在“ $2 -$ 跟随区间”，则 $n - m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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6、已知正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为16 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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7、下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = x^{- 2}$ C、 $f (x) = 2^{- |x|}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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8、设奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有不等式 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，且 $f (- 2) = - 3$ ，则不等式 $f (x - 1) > \frac{6}{x - 1}$ 的解集是（）

A、 $(- 1,3)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 3)$ D、 $(- 1,1) \cup (3,+ \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{b}{x}, x \leq b \\ \frac{x + a}{x - 2}, b < x < 2 \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ B、 $a > 1$ C、 $a < - 2$ D、 $a > 2$

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10、函数 $f (x) = \sqrt{1 - 2 x} - x$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + 5$ 在 $x \in [- 3, 3]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m$ 为（）

A、 $0$ B、 $5$ C、 $10$ D、 $20$

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12、“a=1”是“函数 $f (x) = |x - a|$ 在区间[1， +∞)上为增函数”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知非零实数 $a ， b ， c$ ，且 $a > b$ ，则下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $a c > b c$

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14、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $2^{x} - x^{2} \geq 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $2^{x} - x^{2} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} - x_{0}^{2} < 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} - x^{2} < 1$ D、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $2^{x_{0}} - x_{0}^{2} \geq 1$

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15、已知集合 $A = \{x |1 \leq 3^{x} < 9\}$ ，集合 $B = \{0, 1, 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $[0, 2)$ D、 $[0, 2]$

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16、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线 $l^{'}$ 过 $F$ ，与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、 $E$ 是直线 $y = - 1$ 上一动点，过点 $E$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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17、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 0)$ ， $B (4, 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 3 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(3, - 1)$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点， $|M N| = 4$ ，求 $l$ 的一般式方程．

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18、已知 $O$ 为坐标原点， $P (- 1, 1)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的准线上的一点，过 $C$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F| = 2$ B、 $△ O A B$ 为钝角三角形 C、直线 $O Q$ 的斜率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $P A ⊥ P B$ ，则直线 $l$ 的斜率为2

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19、以下四个命题是真命题的是（）

A、直线 $(m + 1) x - 2 m y - 3 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(3, 6)$ B、若直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x - (m - 1) y + 3 = 0$ 互相垂直，则 $m = - \frac{1}{2}$ C、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $a x - (a - 2) y + 1 = 0$ 平行，则 $a = 1$ D、过点 $A (3, 1)$ 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 $x - y - 2 = 0$ 或 $x - 3 y = 0$

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20、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 上一点．直线 $A F_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ， $|O F_{1}| = |O A|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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