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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F (0, - 2)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（直线 $P Q$ 与坐标轴不垂直），过 $P, Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若直线 $P N$ 与 $Q M$ 交于点 $H$ ，证明：点 $H$ 的纵坐标为定值.

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C P$ 的中点， $A B = A C = 1$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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3、某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ .

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5、在二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C、常数项为 $\frac{1}{16}$ D、展开式中系数最大项为第3项和第4项

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 e$ （ $e$ 为 $C$ 的离心率），则（）

A、 $a = 1$ B、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $e = \sqrt{2}$ D、 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、60个 C、72个 D、120个

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8、若直线 $l_{1} : a x + 3 y - 6 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a - 2) y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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9、已知非零向量 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ 和 $\vec{b} = (4, λ, - 2)$ 互相垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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10、某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ 的值分别是（）

A、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 1.5$ B、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 1.5$ C、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 3$ D、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 3$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ ， ${(a_{n} - a_{n - 1})}^{2} = 2 (a_{n} + a_{n - 1}) - 1$ ， $n \geq 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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13、已知曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ ，设 $P$ 点坐标为 $P (1, 2)$ ，

(1)、求曲线在点 $P$ 处的切线方程；

(2)、求曲线过点 $P$ 的切线方程．

(3)、若曲线在点 $R$ 处的切线与曲线 $y = - x^{2} + 1$ 相切，求 $R$ 点的坐标

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前40项的和 $T_{40}$ .

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{4} + a_{7} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为何值时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和取得最大值？

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16、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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17、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})$ ，则 $a_{5} =$ .

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 3, S_{10} = 9$ ，则 $S_{15} =$ .

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19、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{5}}$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 是等比数列 B、若 $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} = \pm 8$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3^{n - 1} + r$ ，则 $r = - 1$ D、若 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列

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