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相关试卷

1、已知三棱锥 $P - A B C$ 四个顶点都在球O面上， $P A = P B = P C = 2$ ， $∠ A P B = 90 °$ ， M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（）

A、 $\frac{128}{7} π$ B、 $\frac{64}{7} π$ C、 $\frac{32}{7} π$ D、 $\frac{16}{7} π$

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2、已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、56 B、60 C、64 D、68

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3、若函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x}}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、无解

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4、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5、设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ 是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知集合 $A = \{x ||x + 1| > 1\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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7、已知复数z在复平面内满足 $|z| \leq 1$ ，则复数 $z$ 对应的点Z的集合所形成图形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $2 π$

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8、组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质： $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}$ .小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.

(1)、计算： ${(C_{2}^{0})}^{2} + {(C_{2}^{1})}^{2} + {(C_{2}^{2})}^{2}$ ， ${(C_{3}^{0})}^{2} + {(C_{3}^{1})}^{2} + {(C_{3}^{2})}^{2} + {(C_{3}^{3})}^{2}$ ，并与 $C_{4}^{2}$ ， $C_{6}^{3}$ 比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明；

(2)、证明： $\sum_{k = 0}^{2 n} {(- 1)}^{k} {(C_{2 n}^{k})}^{2} = {(- 1)}^{n} C_{2 n}^{n}$ ；

(3)、利用上述（1）（2）两小问的结论，证明： $\sum_{k = 1}^{n} {(C_{2 n}^{2 k - 1})}^{2} = \frac{1}{2} [C_{4 n}^{2 n} + {(- 1)}^{n - 1} C_{2 n}^{n}]$ .

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9、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + b$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值8．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值，以及相应x的值；

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10、二项式 ${(2 x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中各项的二项式系数和；

(3)、求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.

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11、已知 ${(1 + a x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，若 $a_{3} = - 32$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ ．

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12、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) = x^{2} - x f^{'} (3)$ ，则 $f (1) =$ ．

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13、函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、3是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 3)$ 上单调递减 D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率小于零

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ ，若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 16]$ B、 $(- \infty, 8)$ C、 $(- \infty, - 8) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 16] \cup [16, + \infty)$

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15、 $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为（）

A、 $- 24$ B、 $- 40$ C、24 D、 $- 30$

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16、如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）

A、400 种 B、460 种 C、480 种 D、496 种

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17、用 $2, 3, 4, 5, 6$ 这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）

A、24个 B、48个 C、60个 D、72个

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18、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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19、设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $f (x)$ 的两个不同的极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、请证明 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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