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相关试卷

1、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，点 $A$ 为 $C$ 的左支上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $b = \sqrt{3}$ B、 $F_{2}$ 到渐近线 $y = \sqrt{3} x$ 的距离是 $\sqrt{3}$ C、若 $B (0, 2)$ ，则 $|A B| + |A F_{2}|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、若点 $P (- 3, t)$ 为 $C$ 的左支上一点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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2、对于函数 $f (x) = sin 2 x$ 和 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小值 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有相同的对称中心 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小正周期 D、当 $x \in [0, 2 π]$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有 $4$ 个交点

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 12$ ，公差 $d = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、1是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最小项为 $S_{8}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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4、设 $a = \frac{11}{10}$ ， $b = \frac{ln 3}{3}$ ， $c = e^{\frac{1}{10}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 的右支上一点， $∠ P F_{1} F_{2} = 45^{\circ}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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6、如果实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ ，那么 $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、曲线 $y = \frac{x}{2} - cos x$ 在点 $(0, - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 2 = 0$ D、 $2 x + y + 2 = 0$

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8、在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有多少种不同的站法（）

A、18 B、12 C、28 D、24

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9、若复数 $z = \frac{- i}{- 1 + 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ ．

(1)、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、①已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ_{1}$ 和 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 的夹角为 $θ_{2}$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = d (\vec{c}, \vec{d})$ 的充分必要条件是 $\sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ ；
②在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ 且 $A D = \frac{4}{3}$ ，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $d (\vec{P A}, \vec{P B})$ ．

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11、已知双曲线 $C_{1} : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与曲线 $C_{2} : 3 {(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 6$ 有4个交点A，B，C，D（按逆时针排列）.

(1)、若方程 $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 有4个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ .证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - a$ ， $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = b$ .

(2)、设O为坐标原点，证明： ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} + {|O C|}^{2} + {|O D|}^{2}$ 为定值；

(3)、求四边形ABCD面积的最大值.

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12、已知函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求证：当 $0 < x \leq 1$ 时， $2 f (x) \geq x^{2} - 1$ ；

(3)、若 $h (x) = x^{2} - 2 t |1 + \frac{f (x)}{x}|$ .其中 $0 < t < 1$ .讨论函数 $h (x)$ 的零点个数.

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13、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{2} \leq a_{n} < 1$ ；

(2)、令 $b_{n} = \log_{2} \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，证明： $\frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}^{2}} < \frac{7}{4}$ .

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14、甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且每人每次投中与否互不影响.

(1)、求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；

(2)、求“乙获胜”的概率.

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15、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的垂线，垂足为 $M ．$ 若 $|F_{1} M| = \sqrt{3} b$ ，则离心率的取值范围为．

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16、 $2^{2025}$ 除以7的余数为．

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17、已知 $\frac{cos α - sin α}{cos α + sin α} = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ .则（）

A、 $x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的对称轴 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$

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19、下列命题正确的有（）

A、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，且至少过一个样本点 B、两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C、将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变 D、将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x|, x > 0 \end{array}$ ，则方程 $f (f (x) - 2) = 2$ 实数根的个数为（）

A、6 B、7 C、10 D、11

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