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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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2、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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3、如图， $A B$ 是圆O的直径， $A D$ 垂直于圆O所在的平面， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点C是圆O上不同于 $A, B$ 的任意一点，E为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若直线 $B D$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $O - C E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 为圆O（含圆周）内任意一点，它到点 $A$ 的距离与到直线 $B D$ 的距离相等，求三棱锥 $P - A B D$ 体积的取值范围．

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A P = A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 \sqrt{3} a c \sin B = (a + b + c) (a + b - c)$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a + b = 7$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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6、已知向量 $\vec{a} = (sin x, cos x - sin x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} cos x, cos x + sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值

(2)、若对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - 2 f (x) - a = 0$ 都有解，求实数a的取值范围

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7、用铁水灌注上、下底面的边长分别为 $2 cm$ 和 $6 cm$ 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为 $2 \sqrt{3} cm$ ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）

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8、在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）

A、事件 $A, B$ 为互斥事件 B、事件 $A, B$ 为相互独立事件 C、 $P (C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (D) = P (A) + P (B) + P (C)$

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9、帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7

A、轻风 B、微风 C、和风 D、劲风

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10、某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（每组数据均左闭右开），则下列各选项正确的是（）

A、 $a = 0.005$ B、估计这100名人员成绩的中位数为76.6 C、估计这100名人员成绩的平均数为76.2（同一组数据用该区间的中点值作代表） D、若成绩在 $[80, 100)$ 内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (- 6, 8), |\vec{b}| = 5, \vec{c} = (1, 0)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为钝角，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 4, - 3)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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12、已知函数 $f (x) = sin x - x cos x + a x, x \in (0, π)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的零点个数并说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x$ ， $x \in (0,e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ，求实数 $k$ 的值．

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14、现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、4名男学生互不相邻；

(2)、2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生．

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15、 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} + \ln x + b (a \in R, b \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} < x_{2} \leq 2 x_{1}$ ，则 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为.

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16、将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有种不同分配方法．

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17、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, λ)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2, 2, 1)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $λ$ 的值为．

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18、在 $(1 + x)^{2 n} + x (1 + x)^{2 n - 1} + \dots + x^{n} (1 + x)^{n}$ 的展开式中， $x^{n}$ 的系数为（）.

A、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! n!}$ B、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! n!}$ C、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! (n + 1)!}$ D、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! (n + 1)!}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (0) = 2$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > 1 - f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x) < 1 + e^{- x}$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 1, 0)$

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．取棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，则 $|\vec{A M}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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级数	名称	风速大小（单位：m/s)
2	轻风	1.6~3.3
3	微风	3.4~5.4
4	和风	5.5~7.9
5	劲风	8.0~10.7