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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, C$ 上有一点 $P (p, y_{0})$ 到焦点 $F$ 的距离为3，过焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点， $|A B| = 6, O$ 为坐标原点.

(1)、求点 $F$ 的坐标；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积.

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2、已知 $α \in (0, π)$ ，满足 $sin (α + \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ ，则 $tan α =$ .

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3、已知三次函数 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ ，若不等式 $y \leq m$ 的解集为 $\{x ∣ x \leq m\}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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4、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 是边 $B C$ 的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ 且 $∠ A D B = \frac{π}{3}$ ，求 $sin B$ 的值；

(3)、若 $B C = 4$ ，求 $\cos ∠ B A C$ 的取值范围.

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5、某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形 $A B C D$ 区域中，将 $△ A B D$ 区域设立成烧烤区， $△ B C D$ 区域设立成花卉观赏区，边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 修建观赏步道，边 $B D$ 修建隔离防护栏，其中 $A B = 200$ 米， $A D = 400$ 米， $C = \frac{π}{3}$ .烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域.

(1)、需要修建多长的隔离防护栏？

(2)、若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？

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6、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan (α - β) = - 8 - 5 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $2 α - β$ 的值.

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, 1), \vec{c} = (1, - 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $(x \vec{a} + y \vec{b}) / / \vec{c}$ ，且 $x, y$ 为非零实数，求 $\frac{x}{y}$ 的值.

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8、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} B + 2 \sin^{2} A - \sin^{2} C = 0$ ，若 $\tan B = x \tan C$ ，则实数 $x$ 的值为.

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9、 $E$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的点， $\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C} = 3 \vec{B E}$ ，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

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10、下列说法正确的有（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、已知 $\vec{e_{1}} \vec{e_{2}}$ 不共线，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 与向量 $\vec{n} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 共线，则实数 $k = \frac{1}{2}$ C、设 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (6, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $t$ 的取值范围为 $(- 4, 9) \cup (9, + \infty)$ D、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{7}{6} \vec{b}$

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11、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则 $△$ $A B C$ 为等腰三角形 C、 $A = 60 °$ ， $a = 15$ ， $b = 16$ ，则 $△$ $A B C$ 有两解 D、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△$ $A B C$ 可以是钝角三角形

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12、以下正确的有（）

A、 $\sin 10 ° \cos 20 ° \cos 40 ° = \frac{1}{4}$ B、 $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °) = 1$ C、函数 $f (x) = \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ 的最大值为2 D、 $\frac{2 \cos 10 ° - \sin 20 °}{\cos 20 °} = \sqrt{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ，若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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14、图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点 $P$ 在圆上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的值为（）

A、23 B、29 C、21 D、24

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15、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点， $D C = 5$ ， $A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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16、四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $B C = 3 B F$ ，连接 $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\cos ∠ E M F =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$

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17、被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度 $M N$ ，在泗水阁旁边找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $28 m$ ，在底面上的点 $C$ 处（ $B$ ， $C$ ， $N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，泗水阁顶部 $M$ 的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15 °$ ，则泗水阁的高度约为（）

A、 $42 m$ B、 $52 m$ C、 $56 m$ D、 $60 m$

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18、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若 $\sin (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\cos β = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，设 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积取得最大值 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $B (3, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $B$ ， $N$ 之间）．
（i）求 $\frac{S_{△ O B M}}{S_{△ O B N}}$ 的取值范围；
（ii）若 $Q$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $\vec{O Q} = \vec{O M} + \vec{O N}$ ，求四边形 $O M Q N$ 的面积．

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20、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）．

A、7 B、1 C、 $4 - 3 \sqrt{3}$ D、 $4 + 3 \sqrt{3}$

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