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相关试卷

1、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{3 b - c}{4 b}}$ ，则 $\frac{2 a}{b}$ 的取值范围是.

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $|\vec{c}| =$ .

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3、如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将 $△ A B E$ ， $△ E C F$ ， $△ F D A$ 分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（）

A、AP⊥EF B、点P在平面AEF内的射影为 $△ A E F$ 的外心 C、二面角 $A - E F - P$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、四面体 $P - A E F$ 的外接球的体积为 $\sqrt{6} π a^{3}$

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4、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ .设 $C (3, 4)$ ，则 $| 2 \vec{C A} + \vec{A B} |$ 的取值范围是（）

A、 $[6, 14]$ B、 $[6, 12]$ C、 $[8, 14]$ D、 $[8, 12]$

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6、设 $P, A, B, C$ 是球 $O$ 表面上的四个点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = 5$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{50}{3} π$ B、 $50 π$ C、 $75 π$ D、 $200 π$

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $A - B E F$ 的体积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 表示 $\vec{c}$ ，则（　　）

A、 $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{c} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{c} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ D、 $\vec{c} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$

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9、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）

A、A与B互斥 B、B与C互为对立 C、A与B相互独立 D、A与C相互独立

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10、已知i为虚数单位，复数z满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - i|$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x)$ 的极大值为 $g (a)$ ，求证： $g (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ ；

(3)、设 $h (x) = ln x - \frac{2}{a} x + 2$ ，若函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 与 $y = h (x)$ 共有4个不同的零点，是否存在实数 $a$ ，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，短轴长为 $4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $l : y = k x + 4$ 椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ .设直线 $A N$ 与直线 $B M$ 相交于点 $G$ ，求 $|G A| + |G P|$ 的最小值.

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13、魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.

(1)、小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，小吴每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，若采用三局两胜制，两人共进行了 $X$ 局比赛，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若负，则他下一局比赛获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ B P C = 90 °$ ．

(1)、若 $B P = \sqrt{3}$ ，求 $A P$ 的长；

(2)、若 $∠ B P A = 120 °$ ，求 $\tan ∠ A B P$ ．

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15、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = D C = 1$ ， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置，使 $∠ P E B = 90^{\circ}$ ， $N$ ， $F$ 分别是棱 $B C$ ， $P B$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求平面 $E F N$ 和平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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16、已知 $F_{1}$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与双曲线左支交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $D$ 是双曲线上点 $B$ 关于原点的对称点.若以 $A D$ 为直径的圆过点 $F_{1}$ ，且 $|D F_{1}| = |A F_{1}|$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为.

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17、已知 $sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos (θ + \frac{2 π}{3}) =$ .

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18、在 ${(x + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则 $n$ 的值为.

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19、用 $[x]$ 表示不超过实数x的最大整数，如： $[- 1.2] = - 2$ ， $[1.5] = 1$ ．已知函数 $f (x) = \cos x + |\sin x|$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 B、函数 $f (x)$ 是周期函数 C、函数 $g (x)$ 的值域是 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、方程 $g (x) = 2 x$ 只有一个实数根

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20、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为 $l$ ， $A$ 为 $C$ 上一点，以点F为圆心， $| F A |$ 为半径的圆交 $l$ 于B，D两点， $∠ A B D = 90^{\circ}$ ，且 $△ A B F$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B F$ 是正三角形 B、 $| B F | = 3$ C、抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 6 x$ D、若AF与抛物线 $C$ 交于另一点E，则 $| E F | = 1$

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