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相关试卷

1、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $125 π$ D、都不对

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2、如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、8

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ 与 $\vec{b} = (- 4, λ)$ 垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、12 D、 $- 12$

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4、已知复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (1 - x) + g (x) = 3$ ， $g (- 2) = 2$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 1$ D、 $g (x)$ 关于 $x = 1$ 对称

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6、抛物线 $y ^{2} = 4 x$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，以点 $T (1, f (1))$ 为切点作曲线 $f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有3个零点；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(a - 5, 3 - a)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

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8、某林场去年底森林木材储存量为100万 $m^{3}$ ，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万 $m^{3}$ 木材，记 $a_{n}$ 为第n年年底的木材储存量.

(1)、写出 $a_{1}, a_{2}$ ；写出数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式；

(2)、为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万 $m^{3}$ ）
参考数据： ${1.2}^{9} = 5.16, {1.2}^{10} = 6.19$ .

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9、已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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10、如图，某广场内有一半径为 $50 \sqrt{3}$ 米的圆形区域，圆心为 $O$ ，其内接矩形 $A B C D$ 的内部区域为居民的健身活动场所，已知 $A B = 100$ 米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心 $O$ 作直径 $M N$ ，使得 $M N // A B$ ，在劣弧 $\overset{⌢}{M C}$ 上取一点 $E$ ，过点 $E$ 作圆 $O$ 的内接矩形 $E F G H$ ，使 $E F // M N$ ，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设 $∠ M O E = x$ ．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为 $f (x)$ （单位：平方米），求 $f (x)$ 的表达式（不需要注明 $x$ 的范围）．
（2）当 $f (x)$ 取最大值时，求 $x$ 的值为．

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11、已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $a_{5} + a_{6} = 13$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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12、有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)

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13、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）．

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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14、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上递增，在 $[b, d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4 - x) - \log_{\frac{1}{2}} (4 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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17、已知 $cos (x - \frac{π}{10}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{3 π}{10}) =$ .

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18、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $x \in R$ ）， $g (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）

(2)、利用（1）中的结论，在 $△ A B C$ 中，求 $\sin A + \sin B + \sin (A + B)$ 的最大值；

(3)、证明函数 $h (x) = a \ln \frac{1}{x} - x^{2} - \frac{2}{x} (a \leq 0)$ 是上凸函数．

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19、如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时．

(1)、求加油船到达小岛B所需的时间；

(2)、两艘船最少经过多少小时能相遇？

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + m}$ ．

(1)、是否存在 $m \in R$ ，使得 $f (x) + f (2 - x)$ 为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；

(2)、若 $m = 1$ ，方程 $|f (x) - \frac{1}{2}| = k f (x) (k \in R)$ 有两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围．

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