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相关试卷

1、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 $A B = 2, P$ 为弧 $A C$ （含端点）上的一点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C P}$ 的范围为．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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3、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是偶函数 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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4、已知 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（）

A、 $α // β, a \subset α, b \subset β \Rightarrow a // b$ B、 $a \subset α, b \cap α = A \Rightarrow a, b$ 为异面直线 C、 $a // b, a // α, b ⊄ α \Rightarrow b // α$ D、 $b // α, a \subset α \Rightarrow a // b$

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}$ ，则 $\frac{a^{2} + c^{2}}{a c}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6、若函数 $f (x) = ln [(a - 1) x + 1]$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $[\frac{2}{3}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 3, t)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8、 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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9、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 3) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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11、已知函数 $f (x) = - cos x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、判断 $g (x) \geq f (x)$ 是否对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，并给出理由；

(2)、证明：
①当 $0 < m < n < \frac{π}{2}$ 时， $\frac{sin m - sin n}{m - n} > cos n$ ；
②当 $a_{i} = \frac{1}{2^{i}} (i \in N^{*})$ ， $k_{i} = \frac{f^{'} (a_{i + 1}) - f^{'} (a_{i})}{a_{i + 1} - a_{i}} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ 时， $\sum_{i = 1}^{n - 1} k_{i} > \frac{6 n - 7}{6}$ .

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12、设数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ 满足关系式： $3 t S_{n} - (2 t + 3) S_{n - 1} = 3 t$ ， $(t > 0, n \geq 2, n \in N)$ ．
（1）求证数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
（2）设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $f (t)$ ，构造数列 ${b_{n}}$ ，使 $b_{1} = 2, b_{n} = 3 f (\frac{1}{b_{n - 1}})$ $(n \geq 2, n \in N)$ ，求数列 ${(2 n - 1) b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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13、（1）求值： $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{10}^{2}$ ；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} \leq 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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14、设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上零点的个数.

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15、已知函数 $f (x)= \{\begin{matrix} \frac{1}{2} - |x - \frac{3}{2}| (x \leq 2) \\ e^{x -2} (- x^{2} +8 x -12) (x >2) \end{matrix}$ 若在区间 $(1,+∞)$ 上存在 $n (n ≥2)$ 个不同的数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} =⋯= \frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ 成立，则 $n$ 的最大值为．

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16、工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种．

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17、已知函数 $f (x) = x^{n} + \frac{4}{x^{n}}$ (n为正整数)，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 始终为奇函数 B、当n为偶数时，函数 $f (x)$ 的最小值为4 C、当n为奇数时，函数 $f (x)$ 的极小值为4 D、当 $n = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $y = 2 x$ 对称

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18、下列等式中，正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$ B、 $r C_{n}^{r} = n C_{n}^{r - 1}$ C、 $C_{n + 1}^{m + 1} = C_{n}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m} + C_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n - m} C_{n}^{m + 1}$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \in [- 1, 0) \\ \frac{3 x - 2}{1 - x}, x \in [0, 1) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x + \frac{2}{3} m$ 在 $[- 1, 1)$ 内有且仅有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 8)$ B、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 9] \cup (9,+ \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 8]$ D、 $m \in (- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 9) \cup (9,+ \infty)$

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20、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{8}{3} x + 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n - 7$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{8}) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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