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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ 的最小正周期为

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) < 0$ 时，求实数a的取值范围.

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3、中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?

(2)、为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 $x$ 元.公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

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4、已知函数 $f (x + 3)$ 的定义域为 $[- 2, 4)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为．

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5、设 $x \in R$ ，则“ $x < 3$ ”是“ $x (x - 2) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、柜子里有3双不同的鞋，分别用 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ； $b_{1}$ ， $b_{2}$ ； $c_{1}$ ， $c_{2}$ 表示6只鞋，其中 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ 表示每双鞋的左脚， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求下列事件的概率：
①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.

(3)、求取出的鞋不成双的概率.

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7、已知集合 $A = \{x | x > - 1\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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8、某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛.随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成 $[160, 165), [165, 170), \cdot \cdot \cdot, [180, 185)$ 共五组后，得到的频率分布图表如下所示：

(1)、求这100名参赛者得分的第85百分位数；

(2)、估计这100名学生的成绩的平均数.

(3)、为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.

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9、已知点 $A (1, 5), B (- 2, 10)$ ，直线 $l : y = x + 1$ ，在直线 $l$ 上找一点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则这个最小值为（）

A、 $\sqrt{34}$ B、8 C、9 D、10

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10、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 的中点，若点P在底面四边形 $A B C D$ 内（包括边界）移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则（）

A、 $D_{1} E$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $A_{1}$ 点到 $D_{1} E$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、线段 $B_{1} P$ 的长度的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\vec{P A}$ 与 $\vec{P E}$ 的数量积的范围是 $[- \frac{4}{5} ， 1]$

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11、对于函数 $f (x)$ ， $x \in [a, b]$ ，以及函数 $g (x)$ ， $x \in [a, b]$ ．若对任意的 $x \in [a, b]$ ，总有 $|\frac{f (x) - g (x)}{f (x)}| \leq \frac{1}{10}$ ，那么称 $f (x)$ 可被 $g (x)$ “替代”（通常 $g (x) \neq f (x)$ ）．

(1)、试给出一个可以“替代”函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的函数 $g (x)$ ；

(2)、试判断 $f (x) = \sqrt{x} (x \in [4, 16])$ 是否可被直线 $g (x) = \frac{x + 6}{5}$ ， $x \in [4, 16]$ “替代”．

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12、（1）已知 $12 < a < 60$ ， $15 < b < 36$ ，求 $a - 2 b$ 的取值范围．
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ，求使不等式 $x + y \geq m$ 恒成立的实数 $m$ 的取值范围．

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13、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

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14、若 $p : - 2 < x < 2$ ， $q : \sqrt{x} < 4$ ，则 $p$ 是 $q$ 的条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处）

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x - 7 = 0\}$ ，则 $A$ 的真子集的个数是.

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16、定义在 $(- 1, 1)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 C、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{5}) = f (\frac{1}{2})$ D、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{4}) < f (\frac{1}{2})$

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17、下列说法中，正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ B、若 $a^{2} > b^{2}$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ D、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$

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18、已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} + a x$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上不具有单调性，则 $a$ 的值可以是（）

A、9 B、-1 C、-5 D、0

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 4$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x$ .若“ $\forall x_{1} \in [1, 4]$ ， $\exists x_{2} \in [2, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立”为真命题，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- \infty, 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 4, 2)$

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20、若不等式 $x^{2} - 5 a x + 1 < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{a}, a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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