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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\tan C = 3 \tan B$ ．

(1)、若 $a = 2 b$ ，求C；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ， $b + c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：

(1)、估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 $P (250.25 < X < 399.5)$ ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545, P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.99731$ .

(3)、某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都 $\frac{1}{2}$ ，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点 $(n, 0)$ 的概率为 $P_{n} (1 \leq n \leq 60)$ ，试证明数列 $\{P_{n} - P_{n - 1}\}$ 是等比数列 $(2 \leq n \leq 59)$ ，求出数列 $\{P_{n}\} (1 \leq n \leq 60)$ 的通项公式，并比较 $P_{59}$ 和 $P_{60}$ 的大小.

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3、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ ．

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若对任意 $x \in [- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ ， $t \in [- 2, 2]$ ，不等式 $f (x) \geq t^{2} + a t - 6$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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4、小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子 $A, B$ 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将 $B$ 中的1颗糖放入 $A$ 中，否则将 $A$ 中的1颗糖放入 $B$ 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时 $B$ 中没有糖的概率是．

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5、若 $f (x) = a sin (x + \frac{π}{6}) + 3 sin (x + \frac{π}{3})$ 是偶函数，则实数 $a$ 的值为.

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6、若函数 $f (x) = x^{2} - 4 a x - 3$ 在区间 $(- 4, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数 $u = a + b i + c j + d k$ ， $a, b, c, d \in R$ 的单位 $i, j, k$ ，其运算满足： $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ ， $ij = k$ ， $jk = i$ ， $ki = j$ ， $ji = - k$ ， $kj = - i$ ， $ik = - j$ ；记 $\bar{u} = a - b i - c j - d k$ ， $N (u) = u \bar{u} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ ， $|u| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}$ ，定义 $u^{- 1} = \frac{1}{u}$ ，记所有四元数构成的集合为 $V$ ，则以下说法中正确的有（）

A、集合 $\{1, i, j, k\}$ 的元素按乘法得到一个八元集合 B、若非零元 $u, v \in V$ ，则有： $u^{- 1} v u = v^{- 1}$ C、若 $u, v \in V$ ，则有： $N (u v) = N (u) N (v)$ D、若非零元 $u \in V$ ，则有： $u^{- 1} = \frac{\bar{u}}{|u^{2}|}$

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8、已知 $\{cos α, cos 2 α, cos 3 α\} = \{sin α, sin 2 α, sin 3 α\}$ ，则 $α$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $- \frac{3 π}{8}$ C、 $- \frac{2 π}{7}$ D、 $- \frac{π}{14}$

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9、已知 $m, n \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ，若 $\log_{m} 2 = \frac{1}{1 - 2 a}, \log_{n} 2 = \frac{1}{a^{2}}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则 $m n = 2$ B、若 $a > 2$ ，则 $m n > 2$ C、若 $m n = 1$ ，则 $a = 1$ D、若 $m n > 1$ ，则 $a > 1$

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10、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \vec{0}$ ，则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ C、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、向量 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 垂直

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11、设 $a = \tan 0.21$ ， $b = \ln 1.21$ ， $c = \frac{21}{22}$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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12、若数列 $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列， $a_{3} = 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为公差为6，首项为1的等差数列，则数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 前5项和的最小值为（）

A、 $\frac{187}{4}$ B、 $\frac{167}{4}$ C、 $\frac{147}{4}$ D、65

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13、已知设 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则 $| (x - 3) + (y + 3) i | = 2$ ，则 $| z + 1 |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、若 $A (1, 0)$ ， $B (0, b)$ ， $C (- 2, - 2)$ 三点共线，则 $b =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素

A、15 B、16 C、17 D、18

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16、设 $P$ 是坐标平面 $x O y$ 上的一点，曲线 $Γ$ 是函数 $y = f (x)$ 的图象．若过点 $P$ 恰能作曲线 $Γ$ 的 $k$ 条切线 $(k \in N)$ ，则称 $P$ 是函数 $y = f (x)$ 的“ $k$ 度点”．

(1)、判断点 $O (0, 0)$ 与点 $A (2, 0)$ 是否为函数 $y = \ln x$ 的1度点，不需要说明理由；

(2)、已知 $0 < m < π$ ， $g (x) = \sin x$ ．证明：点 $B (0, π)$ 是 $y = g (x) (0 < x < m)$ 的0度点；

(3)、求函数 $y = x^{3} - x$ 的全体2度点构成的集合．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x}{4 x^{2} + 16}, x \geq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{|x - a|}, x < 2 \end{matrix}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数a的取值范围为.

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18、已知集合 $A$ 满足 ${1, 2} \subseteq A ⫋$ ${1, 2, 3, 4, 5}$ ，且 $3 \notin A$ ，则满足条件的集合 $A$ 有（）

A、2个 B、4个 C、8个 D、16个

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19、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $(sin A - sin B) (b + \sqrt{3}) = c (sin B + sin C)$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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