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相关试卷

1、下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，那么 $\frac{1}{a^{3}} < \frac{1}{b^{3}}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x + 2}$ 有最小值2 D、若 $x \in R$ ，则 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 有最大值1

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2、下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ B、若 $m > n$ ，则 $m t^{2} \geq n t^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ D、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

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3、已知 $a = \frac{17}{18}$ ， $b = \cos \frac{1}{3}$ ， $c = 3 \sin \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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4、图，正方体中的棱长为2， $A, B$ 分别为所在棱的中点，则四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $10 π$ D、 $\frac{41}{4} π$

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5、“ $0 \leq x \leq 1$ ”是“ $\frac{1}{x} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知命题 $p : \forall x \in \{y| y 是无理数\}$ ， $x^{3}$ 是无理数．则 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \notin \{y| y 是无理数\}$ ， $x^{3}$ 是有理数 B、 $\forall x \in \{y| y 是无理数\}$ ， $x^{3}$ 是有理数 C、 $\exists x \notin \{y| y 是无理数\}$ ， $x^{3}$ 是有理数 D、 $\exists x \in \{y| y 是无理数\}$ ， $x^{3}$ 是有理数

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7、已知函数 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ．

(1)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求m的取值范围；

(3)、若 $m = - 1$ ，对任意 $n \in R$ ，总存在 $x_{0} \in [- 2, 2]$ ，使得不等式 $|g (x_{0}) - x_{0}^{2} + n| \geq k$ 成立，求实数k的取值范围．

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8、在平面四边形 $A B C D$ 中， $B C ⊥ C D, A C = \sqrt{3}, A D = 1, ∠ A C D = 30 °$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $B C$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x \leq 0, \\ a x^{2} - b x, x > 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $2 a + b$ 等于．

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10、若不等式 $k x + b \geq ln x$ 恒成立，则 $\frac{b}{k}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- e, + \infty)$

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11、如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ (如图2)，使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面ABCM.
（1）求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；
（2）若点E是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点E在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17} .$

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12、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $M (2, 3, - 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(2, 3, 1)$ B、 $(2, - 3, - 1)$ C、 $(- 2, 3, - 1)$ D、 $(2, - 3, 1)$

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13、 $DeepSeek$ 是由中国杭州的 $DeepSeek$ 公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高 $DeepSeek$ 的应用能力，某公司组织全体员工参加 $DeepSeek$ 培训．培训结束之后，公司举行了一次 $DeepSeek$ 专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．

(1)、若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；

(2)、已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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14、以下结论正确的是（）

A、若 $x \neq 0$ ，则 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2 B、若 $a, b \in R$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值是2 D、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $a b \leq \frac{1}{4}$

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\frac{\sqrt{3} c}{a} - sin B = tan A \cdot cos B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求边 $c$ .

(3)、若 $\cos (x + A) = \frac{1}{7}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin x$ 的值.

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16、在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $B A = B C$ ， $A C = 2 D F$ ， $M$ 为 $A C$ 的中点， $P$ 是 $C F$ 上一点，且 $\frac{C F}{D F} = \frac{M C}{C P} = λ (λ > 1)$ .

(1)、若 $λ = \sqrt{3}$ ，求证： $C D ⊥$ 平面 $P B M$ ；

(2)、已知 $C P = 1$ ，且直线 $B C$ 与平面 $P B M$ 的所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求平面 $E F M$ 与平面 $P B M$ 所成夹角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，求点 $A$ 到平面 $P B M$ 的距离.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x + 1}, x \leq 0, \\ - {log}_{2} x, x > 0, \end{array}$ 则 $f [f (3)] =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = 3 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}), g (x) = 3 cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小值 C、直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ 的图像

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19、命题 $p :$ $f (x) = \{\begin{array}{l} (a + 4) \ln (x + 2) - a - 1, - 2 < x < - 1 \\ x^{2} + 2 a x - 7, - 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ 在 $x \in (- 2, 2]$ 上为减函数，命题 $q : g (x) = \frac{a x + 4}{x - 1}$ 在 $(1, + \infty)$ 为增函数，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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