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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，将 $\{a_{n}\}$ 依原顺序按照第n组有 $2^{n}$ 项的要求分组，则2024所在的组数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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2、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ .若 $P (1 \leq X < 3) = 0.2$ ，设事件 $A =$ “ $X < 1$ ”，事件 $B =$ “ $|X| > 1$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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3、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{\ln 2}{x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $f^{'} (x) = - \frac{\ln 2}{x}$ D、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x \ln 2}$

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4、已知 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ 分别为随机事件A，B的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则（）

A、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = 1$ B、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = P (A)$ C、若A，B独立，则 $P (A| B) = P (A)$ D、若A，B互斥，则 $P (A | B) = P (B | A)$

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5、已知指数函数 $f (x) = 3^{x}$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x - 1) > f (- x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为2的直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，且 $| A B | = 10$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线 $B P (P$ 是动点，且异于点 $B)$ ，过点 $F$ 作AP的平行线交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $| P A |^{2} = | M N | \cdot | A B |$ ．

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ 且 $2 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $4 a_{1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若函数 $\{b_{n}\}$ ，满足 $b_{n} = 2 n + a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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8、如图，扇形 $O A B$ 的半径为 $1$ ，圆心角为 $\frac{π}{4}$ ， $C$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点（不含点 $A$ 、 $B$ ），作 $C E // O A$ 交 $O B$ 于点 $E$ ，作 $E F ⊥ O A$ 交 $O A$ 于点 $F$ ，同时以 $O A$ 为斜边，作 $Rt △ O A G$ ，且 $∠ A O G = 2 ∠ C O A$ ．

(1)、求 $△ O A G$ 的面积的最大值；

(2)、从点 $C$ 出发，经过线段 $C E$ 、 $E F$ 、 $F A$ 、 $A G$ ，到达点 $G$ ，求途经线段长度的最大值．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 1 - 2 {sin}^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $cos 2 θ$ 的值.

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10、如图．在锐角 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的中线 $A D$ 长为 $3$ ，且 $\sin B = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ， $\cos ∠ A D C = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $A B$ 边的长；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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11、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\cos ∠ E M F =$ .

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12、已知 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (- 1, 2)$ ，且 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，则 $x =$ .

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13、已知函数 $f (x) = cos 2 x - 2 \sqrt{3} sin x cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称； C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增； D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象与函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象重合.

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14、十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成 $120^{\circ}$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = 3, 2 sin B sin (C + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} sin A$ ，若 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、-1 B、-2 C、-3 D、 $- \frac{3}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 1]$ B、 $(1, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{2}{3}, 1)$ D、 $[1, \frac{5}{3})$

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16、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两互相垂直，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $A D = 2$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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17、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 3 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

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18、若 $α$ 为第二象限角且 $\cos α = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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19、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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20、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{b}$

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