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相关试卷

1、在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数， $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为．（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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2、已知 $f (x) = - 5 x + \sin x$ ，则满足 $f (a^{2}) + f (- 4) > 0$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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3、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为 $a_{n}$ ，第n个图形的边长为 $b_{n}$ ，第n个图形的周长为 $L_{n}$ ，第n个图形的面积为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．则下列命题正确的是（）

A、 $a_{n} = 3 \times 4^{n - 1}$ B、 $S_{3} = \frac{40}{27} S_{1}$ C、 $b_{4} = \frac{1}{81}$ D、数列 $\{L_{n}\}$ 的前n项和为 $\frac{4^{n}}{3^{n - 2}} - 9$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{cases}$ ，若 $a_{6} = 1$ ，则m可能的取值有（）

A、3 B、4 C、5 D、32

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．则对于任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、 $\frac{f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2}$

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ，前12项和为164，则 $a_{1}$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n$ ，若首项为 $\frac{1}{2}$ 的数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为（）

A、 $\frac{1012}{2023}$ B、 $\frac{2025}{2024}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2024}{2025}$

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8、如图是函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的大致图象，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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9、已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如下图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），下面四个图象中 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（）

A、 $1 : 3$ B、 $2 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $4 : 5$

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11、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{3} + a_{7} = 6, a_{10} = 13$ ，则 $S_{14} =$ （）

A、98 B、112 C、126 D、140

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12、对函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x + e^{2 x}$ 求导正确的是（）

A、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + e^{2 x}$ B、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + 2 e^{2 x}$ C、 $y^{'} = \frac{1}{- x \ln 2} + e^{2 x}$ D、 $y = \frac{1}{- x \ln 2} + 2 e^{2 x}$

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13、已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 6\}, B = \{x| a < x < b\}$ ，其中 $a, b (a < b)$ 是关于 $x$ 的方程 $(x - 3 m) (x + m) = 0 (m > 0)$ 的两个不同的实数根.

(1)、若 $A = B$ ，求出实数 $m$ 的值；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从 $n - 1$ 号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．

(1)、当 $n = 2$ 时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)、当 $n = 3$ 时，求3号盒子里的红球的个数 $ξ$ 的分布列；

(3)、记n号盒子中红球的个数为 $X_{n}$ ，求 $X_{n}$ 的期望 $E (X_{n})$ ．

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15、某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 $A$ 和 $B$ 两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择 $A$ 和 $B$ 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：

(1)、由折线图可看出，可用回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、假设每位顾客选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，其中 $A$ 包含一张优惠券， $B$ 套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 $n$ 张优惠券，设其概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ；

(3)、记（2）中所得概率 $P_{n}$ 的值构成数列 $\{P_{n}\} (n \in N *)$ ，求数列 $\{P_{n}\}$ 的最值．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 16.17$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 68.35$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.72$ ， $\sqrt{7} = 2.646$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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16、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为圆锥底面的直径， $B$ 为底面圆周上一点，点 $D$ 在线段 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 4$ ， $C D = 2 D B$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B O P$ ；

(2)、若圆锥 $P O$ 的侧面积为 $8 π$ ，求二面角 $O - B P - A$ 的正弦值．

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17、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18、如图，在 $4 \times 4$ 的格子中，有一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $B$ 点，每次只能向右或向上移动一格，则从 $A$ 点爬到 $B$ 点的所有路径总数为，若蚂蚁只在下三角形（对角线 $A B$ 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从 $A$ 点到 $B$ 点的所有总路径数为．

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19、在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{8}$ 的展开式中，常数项为．

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20、已知 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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