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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l$ ： $y = - x + 3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；
（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l^{'}$ 平行于 $O T$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，证明：存在常数 $λ$ ，使得 $| P T |^{2} = λ | P A | \cdot | P B |$ ，并求 $λ$ 的值．

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2、水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到8cm左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理.根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，并且符合 $3 σ$ 原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高(单位：cm).

(1)、把株高在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的水稻苗称作异常苗，记 $ξ$ 表示异常苗的数量，求 $ξ$ 可能取值的个数、 $P (ξ = 1)$ 及 $E ξ$ .

(2)、监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正.
（ⅰ）监控部门的要求合理吗？请说明理由.
（ⅱ）下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
株高/cm
7.98
8.01
8.00
8.03
7.99
7.83
7.99
8.28
7.05
7.69
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
株商/cm
8.00
8.41
7.75
8.38
7.72
7.69
8.04
8.29
7.82
8.05
其中， $\hat{μ} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 7.95, \hat{σ} = \sqrt{\frac{1}{20} {\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{20} (\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 20 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.294, x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 株水稻苗的株高， $i = 1, 2, ..., 20$ .请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计 $μ$ 和 $σ$ (精确到0.01).
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9974}^{20} \approx 0.9493, {0.9974}^{19} \approx 0.9517$ $, \sqrt{0.004} \approx 0.06$

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3、如图，平面 $P C B M ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ P C B = 90 ° ， P M ∥ B C$ ，直线AM与直线PC所成的角为 $60 °$ ，又 $A C = 1, B C = 2 P M = 2, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B M$ ；

(2)、求二面角 $M - A B - C$ 的大小；

(3)、求多面体 $P M A B C$ 的体积．

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4、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $| f (t + 2) - f (t) | \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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5、已知 ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{3}})}^{n}$ 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 $x^{5}$ 的系数是．（以数字作答）

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6、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（）

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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7、已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= $3 \sqrt{4 - x^{2}}$ 图像上的点，则|OP|=（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{10}$

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8、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

A、26 B、24 C、20 D、19

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9、等差数列前 $n$ 项的和为 $30$ ，前 $2 n$ 项的和为 $100$ ，则它的前 $3 n$ 项的和为（）

A、130 B、170 C、210 D、260

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10、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、 $a = 0$ 时，证明： $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = 2 x - \ln x + \frac{3}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 50$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{2^{n} - 2 a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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13、已知 ${(2 a x - \frac{1}{x})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（）

A、 $n = 8$ B、 $a = 1$ C、展开式中所有二项式系数的和为512 D、展开式中含 $x^{6}$ 的项为 $- 1024 x^{6}$

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14、用半径为 $1$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时 $α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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15、已知 $a = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}}$ ， $b = e$ ， $c = \frac{2}{3} e^{\frac{4}{3}}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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16、若函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + a^{2} x$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ 或 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $- 3$

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17、某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人）.选3人参加学校的义务劳动，事件 $A =$ “男生甲被选中”，事件 $B =$ “女生乙被选中”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（）

A、72种 B、54种 C、36种 D、27种

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19、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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20、蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形手巾的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
株高/cm	7.98	8.01	8.00	8.03	7.99	7.83	7.99	8.28	7.05	7.69
编号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
株商/cm	8.00	8.41	7.75	8.38	7.72	7.69	8.04	8.29	7.82	8.05