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相关试卷

1、已知 $x \geq 3$ ，则函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、2

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以下说法正确的是（）

A、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ∥$ 平面 $A E C$ B、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ C、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A E ⊥ B D_{1}$ D、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $C E ∥ B D_{1}$

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3、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0$ ，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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4、已知点 $P (a, 1)$ ， $Q (- 2, - 3)$ ，若 $| P Q | = 5$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-5 C、1或-5 D、-1或5

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5、如果椭圆的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，那么它的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 2, 0)$ B、 $(0, \pm 2)$ C、 $(\pm \sqrt{2}, 0)$ D、 $(0, \pm \sqrt{2})$

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6、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{2, 4, 6\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 4\}$

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7、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，PA与底面垂直， $|P A| = 2$ ， $|A B| = 1$ ，动点M在线段PC上，则（）

A、不存在点M，使得 $A C ⊥ B M$ B、 $M B + M D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为5π D、点M到直线AB的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8、16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差： $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)], cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]$ ， $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)], cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$ ．
和差化积： $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ， $cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ．
运用上面的公式解决下列问题：

(1)、证明： ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β = cos (α + β) cos (α - β)$ ；

(2)、若 $α + β + γ + ω = π$ ，证明： $sin (α + β) sin (α + γ) = sin α sin ω + sin β sin γ$ ；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{sin x}{2} + \frac{sin 3 x}{4} + \frac{sin 5 x}{6} + \dots + \frac{sin 99 x}{100}, x \in (0, 2 π)$ ，判断 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = ln(\sqrt{1 + x^{2}} - x) + x^{3}$ ，函数 $g (x)$ 满足 $\forall x \in R, g (x - 4) + g (- x) = 0$ ，若函数 $h (x) = f (x + 2) - g (x)$ 恰有2025个零点，则所有零点之和为（）

A、 $- 4050$ B、 $- 4048$ C、 $- 2026$ D、 $- 2024$

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10、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} \geq 0$ ，记 $A_{n} = max \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}, B_{n} = min \{a_{n + 1}, a_{n + 2}, \dots\}, d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $2, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 4, \dots$ ，是一个周期为4的数列（即 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 4} = a_{n}$ ），直接写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，证明： $\exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时， $d_{n}$ 是常数；

(3)、设 $d$ 是非负整数，证明： $d_{n} = - d (n = 1, 2, 3 \dots)$ 的充分必要条件为 $\{a_{n}\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列.

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $P D = \sqrt{2}, B C = 2$ .

(1)、如图1，在侧面 $P D C$ 内能否作一条线段，使其与 $A B$ 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；

(2)、如图2，若 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、在（2）的条件下，E为棱 $A P$ 上的点，二面角 $A - B D - E$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值.

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12、若直线 $y = a x + b$ 是曲线 $y = \frac{ln x}{x} (0 < x < e)$ 的切线，则 $\frac{b^{2}}{a}$ 的最小值是.

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13、若 $sin 2 (α + β) = 3 sin 2 γ$ ，则 $\frac{tan (α - γ + β)}{tan (α + γ + β)} =$ .

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14、已知函数 $f (x) = A sin (\frac{π}{3} x + φ) (A > 0, 0 < φ < π)$ 的图象经过点 $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，将 $f (x)$ 的部分图象沿 $x$ 轴折成直二面角（如图所示），若 $M N = \sqrt{13}$ ，则（）

A、 $A = \sqrt{2}$ B、 $φ = \frac{2 π}{3}$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移2个单位即可得到函数 $y = A sin \frac{π}{3} x$ 的图象 D、函数 $y = {(f (x))}^{2}$ 的单调递减区间为 $[3 k - 2, 3 k - \frac{1}{2}] (k \in Z)$

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15、设P，A，B，C是球 $O$ 表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球 $O$ 的体积为 $\frac{125 π}{6}, P A = 3$ ，二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $60^{°}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $(0, \sqrt{3})$ 在椭圆上，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于B、D两点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A、C两点，且 $A C ⊥ B D$ ，当直线 $B D$ 的斜率为0时， $|B D| + |A C| = 7$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若P是该椭圆上的一个动点，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积的最小值.

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17、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 与点 $C$ 关于原点对称，过点 $C$ 的直线 $l$ 与抛物线E交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 和点 $C$ 在点 $B$ 的两侧），则下列命题正确的是（）

A、 $|B F| < 4$ B、若 $B F$ 为 $△ A C F$ 的中线，则 $|A F| = \frac{5}{2} |B F|$ C、存在直线使得 $|A C| = \sqrt{2} |A F|$ D、对于任意直线1，都有 $|A F| + |B F| > 2 |C F|$

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18、以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $2 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} - 1 - (a + 1) x ln x}{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 有且只有1个极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为正项数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2 n + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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