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相关试卷

1、已知集合 $M = \{P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}\}, n \geq 2, n \in N$ 是由函数 $y = cos x, x \in [0, 2 π]$ 的图象上两两不相同的点构成的点集，集合 $S = \{a | a = \vec{O P_{0}} \cdot \vec{O P_{i}}, i = 0, 1, 2, \dots, n, n \geq 2, n \in N\}$ ，其中 $P_{0} (0, 1)$ 、 $P_{1} (π, - 1)$ ．若集合 $S$ 中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为 $d$ 的等差数列，当 $d \in \{\frac{1}{2}, 1\}$ 时，则符合条件的点集 $M$ 的个数为．

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2、上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 $O_{1} O_{3} = 20 cm$ ， $O_{2} O_{3} = 18 cm$ ， $A B = 16 cm$ ，则制作 $100$ 个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜．（铜的密度为 $8.9 g / {cm}^{3}$ ）（结果精确到个位）

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3、申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形 $A B C$ 及以弦 $B C$ 和劣弧 $B C$ 所围成的弓形所组成，其中 $A B = A C$ ，劣弧 $B C$ 所在的圆为三角形的外接圆，圆心为 $O$ ．
已知 $∠ B A C = θ, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，外接圆的半径是2，则该图形的面积为．（用含 $θ$ 的表达式表示）

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4、甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分元奖金才公平？

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5、在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z_{1} = i (- 4 - 3 i)$ ， $z_{2} = 12 + 5 i$ 对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $⟨\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}⟩$ 的大小为．

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6、已知抛物线 $x^{2} = a y (a > 0)$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为 $6$ ，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，则抛物线的焦点坐标为．

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7、 ${(x^{6} + \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{5}$ 的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）

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8、若 $A, B, C, D, E$ 五人站成一排，如果 $A, B$ 必须相邻，那么排法共种.

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9、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln x + 1, x > 0, \\ 2^{x} + 1, x \leq 0. \end{array}$ 若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} =$ ．

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10、已知 $x \in R$ ，则不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集为．

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11、若直线 $l_{1}$ ： $x + a y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ ．

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12、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{2, 4\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ ．

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形且与底面 $A B C D$ 垂直， $M$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $N$ 是线段 $B D$ 上一点，且 $B D = 4 B N$ ， $M N ⊥ B D$ ， $A_{1} B = \sqrt{3} A B = A D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明：侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 是矩形；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} M N$ 所成角的正弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a cos B + b cos C = c$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

(2)、若 $A = 30 °$ ， $△ A B C$ 的周长为 $2 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、已知 $\tan (x + \frac{π}{7}) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $x$ 为第二象限角，则 $\sin (x + \frac{10 π}{21}) =$ .

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17、已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若每箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为．

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18、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (a_{1} \leq a_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq a_{n})$ 、 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n} (b_{1} \leq b_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq b_{n})$ 为两组正实数， $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{n}$ 是 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n}$ 的任一排列，我们称 $S = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} c_{n}$ 为这两组正实数的乱序和， $S_{1} = a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{1}$ 为这两组正实数的反序和， $S_{2} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ 为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有 $S_{1} \leq S \leq S_{2}$ ，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（）

A、数组 $(1, 2, 3, 4)$ 和 $(1, 3, 5, 7)$ 的反序和为30 B、若 $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}^{2}$ ， $B = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n - 1} x_{n} + x_{n} x_{1}$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} (x_{1} \leq x_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{n})$ 都是正实数，则 $A \leq B$ C、设正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的任一排列为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ，则 $\frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{a_{2}}{c_{2}} + \frac{a_{3}}{c_{3}}$ 的最小值为3 D、已知正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} = P$ ， P为定值，则 $F = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{n - 1}^{2}}{x_{n}} + \frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}$ 的最小值为 $\frac{P}{2}$

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19、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上有异于原点的 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，以 $A, B$ 为切点的抛物线的切线分别记为 $P A$ ， $P B$ ，则（）

A、若 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 B、若 $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 C、若 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线 D、若 $\frac{1}{|F A|} + \frac{1}{|F B|} = \frac{2}{p}$ ，则 $A, F, B$ 三点共线

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20、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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