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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 4 P A = 4$ ，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当 $P M + M N + E N$ 取得最小值时，三棱锥 $P - E M N$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + a$ 与 $g (x) = \frac{b x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} (b \neq 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，且恒有 $|A B| = |B C|$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3、陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（）

A、 $52 {πcm}^{2}$ B、 $\frac{640 π}{3} {cm}^{2}$ C、 $\frac{4000 π}{3} {cm}^{2}$ D、 $400 {πcm}^{2}$

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4、已知某种零件的尺寸（单位： $mm$ ）在 $[83.8, 86.2]$ 内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸 $X$ 服从正态分布 $N (85, σ^{2})$ ，且 $P (X < 83.8) = 0.1$ ，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）

A、1600 B、1400 C、800 D、20

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5、已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}$ 的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{63}{16}$ C、 $\frac{21}{16}$ D、 $\frac{9}{32}$

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6、若复数 $z = (2 + i) (1 + a i)$ 为纯虚数 $(a \in R)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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7、已知集合 $A = \{a, a^{2}\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、如图，点 $P$ 是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $6 \sqrt{2}$ B、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3}{2} π + 6 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F$ $∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $3 \sqrt{2}$

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们可以采用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y + c, \\ y^{'} = m x + n y + p \end{array}$ （其中 $a, b, c, m, n, p$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．

(1)、将点 $P (x, y)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，所得新椭圆的方程；

(2)、将点 $P (x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得新椭圆的方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + y - 2 = 0$ ，证明：点 $P (x, y)$ 的轨迹是椭圆．

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10、在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ ．记点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，点 $D (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是曲线 $C$ 上的一点．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $x_{0} = 1$ ，直线l过点 $D$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ ，求 $△ O D E$ 面积的最大值；

(3)、过点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O D ⊥ P Q$ ，证明： $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| O D |^{2}}$ 为定值．

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11、如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有 $A D = 2 B C = 2 A B = 2 C D = P B = P C$ ， E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E Q ⊥ P F$ 时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $A + B = 2 C$ ．

(1)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $\frac{S}{(a + b + c) (a + b - c)}$ 的值．

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13、已知圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点P（1，4），且直线l经过点P．

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长．

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14、设O是坐标原点， $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若 $∠ P F_{1} Q = 120 °$ ， $| P Q | = \sqrt{3} a$ ，则该椭圆的离心率是．

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15、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积是．

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16、点A（2，1）到直线l： $x - 2 y - 3 = 0$ 的距离是．

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17、棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）

A、记直线AO与直线AB的夹角是α，则 $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 $\sin β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、记 $| \vec{B P} - x \vec{B C} - y \vec{B D} | (x, y \in R)$ 的最小值为n，则 $n \in [0, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ D、记 $\vec{A P}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $m \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}$ ，则 $m \in [- \frac{\sqrt{6}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{12}]$

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18、抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件 $A_{i} =$ “点数为i”，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ ，则以下说法正确的是（）

A、若随机事件 $B_{1} =$ “点数不大于3”，则 $A_{1}$ 与 $B_{1}$ 互斥 B、若随机事件 $B_{2} =$ “点数为偶数”，则 $A_{2} \subseteq B_{2}$ C、若随机事件 $B_{3} =$ “点数不大于2”，则 $A_{3}$ 与 $B_{3}$ 对立 D、若随机事件 $B_{4} =$ “点数为奇数”，则 $A_{3} \cup A_{4}$ 与 $B_{4}$ 相互独立

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19、已知复数 $z = 3 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、z的实部是3 B、 $| z | = 5$ C、 $\bar{z} = 3 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若直线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 共线的向量是（）

A、 $- 2 \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} - 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} - 2 \vec{c}$

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