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相关试卷

1、已知 ${(2 - \frac{1}{x})}^{23} = a_{0} + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{22}}{x^{22}} + \frac{a_{23}}{x^{23}}$ ，则 $\frac{a_{0}}{2^{22}} + \frac{a_{1}}{2^{21}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{21}}{2} + a_{22} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2、已知点 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 到 $F$ 的距离为 $4$ ，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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3、将 $n (n \geq 2)$ 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，对任意 $1 \leq i < j \leq n$ ，如果 $a_{i} > a_{j}$ ，那么称数对 $(a_{i}, a_{j})$ 构成数列 $\{a_{n}\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．

(1)、若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

(2)、计算以下数列的逆序数．
（ⅰ） $a_{n} = - 2 n + 19 (1 \leq n \leq 100)$ ；
（ⅱ） $a_{n} = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{n}, n 为奇数 \\ - \frac{n}{n + 1}, n 为偶数 \end{array} (1 \leq n \leq k)$ ；

(3)、已知数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 的逆序数为 $a$ ，求 $a_{n}$ ， $a_{n - 1}$ ， …， $a_{1}$ 的逆序数．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{b^{x} + 2}{a^{x} + 1}$ （ $a \in N^{*}$ ， $b \in N^{*}$ ）的图象经过点 $A (- 1, \frac{5}{3})$ ， $B (1, \frac{4}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - m) + f ((m - 1) x) > 3$ 的解集.

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5、记集合 $S_{θ (x)} (a, b) = {(x, y) ∣ y = θ (x), a \leq x \leq a + 1, b \leq y \leq b + 1}$ ，已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ．

(1)、求 $S_{f (x)} (1, 1)$ 中的元素个数；

(2)、若存在 $b$ ，使得存在 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2}) \in S_{g (x)} (a, b)$ ，且 $y_{2} - y_{1} = 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、记 $S_{f (x)} (a, b) \cup S_{g (x)} (a, b) = S_{f (x) \cup g (x)} (a, b)$ ，对于给定的正整数 $n (n \geq 2)$ ，判断是否存在正整数 $i, j (1 \leq i < j \leq n)$ ，使得存在直线 $l : y = m$ ，满足 $l \cap S_{f (x) \cup g (x)} (i, 0) \neq \emptyset$ ，且 $l \cap S_{f (x) \cup g (x)} (j, 0) \neq \emptyset$ ．若存在，求出正整数对 $(i, j)$ 的个数（用 $n$ 表示）；若不存在，说明理由．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为 $F$ ，点 $A (- 2, 0)$ 在 $C$ 上．过 $F$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 的上方）．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $k = 1$ ，求 $\frac{|M F|}{|N F|}$ ；

(3)、若 $\vec{P M} = 2 \vec{M A}$ ，直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，求 $|A T|$ 的取值范围．

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A P C$ ．

(1)、若 $B P ⊥ C P$ ，证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、若 $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，且直线 $A P$ 与平面 $B C P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ，求 $B C$ ．

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8、已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ．

(1)、设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率．

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9、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c}{b} - \frac{cos C}{cos B} = 2 cos A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、延长 $A C$ 到 $D$ ，使 $A C = 2 C D, ∠ C B D = 15^{\circ}$ ，求 $tan A$ ．

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10、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = \frac{5}{3}$ ， $3 a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{2025} < m$ ，求整数 $m$ 的最小值．

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11、设正三角形的三边分别经过点 $(0, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(\sqrt{2}, 0)$ ，则该三角形面积的最大值为．

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12、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = x$ 的焦点为F．A，B为 $C$ 上两点， $O A ⊥ A B$ ．当 $∠ A O F = \frac{π}{4}$ 时， $|A B| =$ ； $3 |F A| + |F B|$ 的最小值为．

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13、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{d}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{d} = 4$ ，则 $\frac{S_{2025}}{a_{2025}} =$ ．

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14、若 $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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15、已知定义在区间 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, 1 \leq x < 2 \\ \frac{f (x - 1)}{1 + f (x - 1)}, x \geq 2 \end{cases}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (2025) = \frac{1}{2025}$ B、当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{x} \leq f (x) < \frac{1}{x - 1}$ C、若 $f (x) \leq \frac{k}{x + 1}$ ，则 $k \geq 2$ D、若 $f (x) \geq a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a \leq \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

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16、设随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{12}$ B、 $A$ ， $B$ 相互独立 C、 $P (A| B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{4}$

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17、已知点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 1)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (1, 0)$ ，平面上仅在线段 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量 $\vec{s} = (1, m) (m > 0)$ 的方向从线段 $O C$ 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在 $B C$ ， $A B$ ， $O A$ 各反射一次后从线段 $O C$ 上某点射出，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{2}{3}, 2)$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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18、设 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面的一条直径， $P$ 为底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $Q$ 为 $S O$ 中点，且二面角 $S - P A - B$ 与二面角 $Q - P B - A$ 相等．若三棱锥 $S - A B P$ 的体积为 $V$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{3} V$ B、 $\frac{5 π}{4} V$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} V$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{4} V$

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19、已知x，y为实数，则“ $x y > 0$ ”是“ $| x + y | = | x | + | y |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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20、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) \cos (β + \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $\tan (α - β) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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