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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行， $(λ \vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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2、设集合 $S = {x | - 2 < x < 2}$ ， $A = {x ∣ x \in S}$ ， $B = \{x^{2} ∣ x \in S\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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3、若 $f (x) = {(x - 2)}^{2} + 2 a x$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、－4 B、－2 C、0 D、2

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4、已知 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 D、7

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5、中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 、信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从2000提升至10000，则 $C$ 大约增加了 $(\lg 2 \approx 0.3010)$ （）

A、 $18 %$ B、 $21 %$ C、 $23 %$ D、 $25 %$

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6、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或2 B、2 C、 $- 1$ D、1

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 8$ ，则 $a b$ 的最小值为.

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8、下列说法中错误的是（）

A、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $1 < a < 3$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $1 < a - b < 4$ D、若 $a < 0$ ， $a b > a^{2}$ ，则 $b^{2} < a^{2}$

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9、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ， $|F_{1} A| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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10、某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． $y = k x + b (k > 0)$ ；B． $y = k \cdot {1.5}^{x} + b (k > 0)$ ；C． $y = k \log_{2} (\frac{x}{15} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

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11、已知向量 $\vec{A B} = (2, 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 共线且反向的单位向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(2, 2)$

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12、在同一坐标系内，函数 $y = x^{a}$ （ $a \neq 0$ ）和 $y = a x - \frac{1}{a}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 B、关于 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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14、已知关于x的不等式 $a (x - 1) (x - 2) > 2 x^{2} - 8 x + 8$ 的解集为A.

(1)、当 $a = 1$ 时，求集合A；

(2)、若集合 $A = (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ ，求a的值；

(3)、若 $3 \notin A$ ，直接写出a的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = | \lg (x + 1) |$ ，对a，b满足 $- 1 < a < b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a b = 1$ C、 $a b - a - b = 0$ D、 $a b + a + b = 0$

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16、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 16$ B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、直线 $x = - 2$ 被椭圆截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $4$

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17、直线l： $y = x + 1$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、都有可能

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18、已知 $n$ 个不同的椭圆 $E_{i} : x^{2} + 3 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}$ ， $\dots, E_{n}$ 分别交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}$ ， $\dots, B_{n}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A_{2} B_{2}$ ；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1}, l_{2})$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .
（i）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} = 1, k_{2} = - 4$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{31}{42}$ .
（参考数据： $4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ ）

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19、已知函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0), g (x) = \frac{x - a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1)、用 $λ$ 表示 $a$ ，并求 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、已知 $h (x) = x ln x$ ，若方程 $h (x) = m$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $|x_{2} - x_{1}| < m + 1$ .

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20、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 3 sin (A + B) = 5 sin (A - B)$ .

(1)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围；

(2)、若 $c^{2} = a cos B + b cos A, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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