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相关试卷

1、设 $a = \log_{0.3} 3$ ， $b = 2^{- \frac{1}{3}} ， c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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2、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设曲线在点 $P_{n}$ 处的切线斜率为 $k_{n}$ ，求证： $k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{4} + \dots + k_{n - 1} k_{n} < \frac{3}{4} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} - a ln (x + 1), g (x) = sin x - x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $g (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x)$ 有极小值，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、对任意的 $x \in [0, π], 2 f (x) \geq g^{'} (x) + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、在正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的任意一个排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中，对于任意i， $j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，若 $a_{i} < a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个顺序对，若 $a_{i} > a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为 $S (A)$ ，逆序对的个数为 $N (A)$ .例如对于排列A：2，1，3， $S (A) = 2$ ， $N (A) = 1$ .

(1)、设排列B：2，4，1，3和C：5，3，1，4，2，试写出 $S (B)$ ， $N (B)$ ， $S (C)$ ， $N (C)$ 的值；

(2)、对于正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的所有排列A，求满足 $S (A) = 2$ 的排列个数；

(3)、如果把排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中两项 $a_{i}$ ， $a_{j} (i < j)$ 交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列 $A^{'}$ .求证： $[S (A) - S (A^{'})] \cdot [N (A) - N (A^{'})]$ 为奇数.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - (a + 1) x - b - 1 (a > - 1)$ .

(1)、若直线 $y = - a x + b + 1$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求实数b的值；

(2)、若对任意的 $x \in R$ ，函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，且 $f (- 1) \leq e^{- 1} + a$ ，求实数a的值；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时， $\frac{n^{n - 1}}{(n - 1)!} > e^{\frac{n - 1}{2}}$ .

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6、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长与短轴长之和为6.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设 $\vec{P M} = λ_{1} \vec{M B}$ ， $\vec{P N} = λ_{2} \bar{N D}$ .求证：当点P在椭圆C上运动时， $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值.

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7、如图1，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 分别为正方形 $A B C D$ ， $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面 $A_{1} C_{1}$ 内将正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $Q_{2}$ 逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体 $A B C D - E F G H$ .

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $Q_{1} Q_{2}$ 的中点为O，求点O到平面 $D B E$ 的距离；

(3)、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值.

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8、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{2 a}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sin B = 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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9、随机将1，2，…， $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记 $ξ = |a - b|$ .当 $n = 3$ 时， $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) =$ ；若对任意 $n \geq 2$ ， $E (ξ) < c$ 恒成立，则c的最小值为.

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10、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{3} = 39$ ，则 $a_{n} =$ .

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11、设直线 $y = t$ 与函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ 图象的三个交点分别为 $A (a, t)$ ， $B (b, t)$ ， $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ B、abc的取值范围为 $(0, 12)$ C、ac的取值范围为 $(0, 4)$ D、 $c - a$ 的取值范围为 $(3, 2 \sqrt{3}]$

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12、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的准线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切， $P$ 为 $C$ 上的动点， $N$ 为圆 $M$ 上的动点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ， $C$ 的焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r = 1$ B、当 $△ P F Q$ 为正三角形时，直线 $P Q$ 与圆 $M$ 相离 C、 $|P N| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{17} - 1$ D、有且仅有一个点 $P$ ，使得 $|P M| = |P Q|$

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13、一组数据有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是公差为d（ $d \neq 0$ ）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（）

A、两组数据的极差相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的平均数相同 D、两组数据的上四分位数相同

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = - 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、 $- 2$

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15、已知三棱锥P-ABC中， $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形， $P C = 2$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $10 π$ C、 $\frac{32}{5} π$ D、 $\frac{28}{5} π$

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16、已知点 $A (\frac{π}{24}, 0)$ 在函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < 0)$ 的图像上，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $\frac{φ}{ω} =$ （）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{2 π}{3}$

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17、已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是 $x$ ，第二次取出的球的数字是 $y$ .若事件 $A =$ “ $x + y$ 为偶数”，事件 $B =$ “ $x$ ， $y$ 中有偶数且 $x \neq y$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、已知 $\sin (α + β) = 3 m$ ， $\tan β = 2 \tan α$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $- m$ B、m C、0 D、2m

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19、已知向量 $\vec{a} = (0, 5)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 8)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, - 4)$

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20、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 2, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2]$

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