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相关试卷

1、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得二面角 $A_{1} - D E - C$ 为直二面角，若 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，则（）

A、 $B P //$ 平面 $A_{1} D E$ B、 $D P ⊥ E C$ C、异面直线 $P B$ ， $A_{1} D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $A_{1} B$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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2、如果直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{6}$ C、0或1 D、0或 $\frac{1}{6}$

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3、对任意正整数 $n$ ，记集合 $A_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ 均为非负整数，且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = n\}$ ，集合 $B_{n} = \{(b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) |b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}$ 均为非负整数，且 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = 2 n\}$ ．设 $α = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) \in A_{n}$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in B_{n}$ ，若对任意 $i \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 都有 $a_{i} \leq b_{i}$ ，则记 $α ≺ β$ ．

(1)、写出集合 $A_{2}$ 和 $B_{2}$ ；

(2)、证明：对任意 $α \in A_{n}$ ，存在 $β \in B_{n}$ ，使得 $α ≺ β$ ；

(3)、设集合 $S_{n} = \{(α, β) |α \in A_{n}, β \in B_{n}, α ≺ β\}$ 求证： $S_{n}$ 中的元素个数是完全平方数．

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4、一段路上有100个路灯 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{100}$ 一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个 $k \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ，当第 $k$ 名行人经过时，他将所有下标为 $k$ 的倍数的路灯 $L_{k}, L_{2 k}, \dots$ 的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有个路灯处于开着的状态.

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5、下列命题为真命题的是（）.

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、若 $m > n > 0$ ，则 $\frac{m + 1}{n + 1} < \frac{m}{n}$ C、如果 $c > a > b > 0$ ，那么 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a \geq b > - 1$ ，则 $\frac{a}{a + 1} \geq \frac{b}{b + 1}$

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6、两县城 $A$ 和 $B$ 相距 $10 km$ ，现计划在县城外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $4$ ；对城 $B$ 的影响度与所选地点到城 $B$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $K$ .对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 和城 $B$ 的影响度之和，记 $C$ 点到城市 $A$ 的距离为 $x$ ，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $y$ .统计调查表明：当垃圾处理厂建在 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $0.26$ .

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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7、若 $α \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{tan α}$ B、 $- \frac{2}{tan α}$ C、 $\frac{1}{tan α}$ D、 $\frac{2}{tan α}$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = 20, a_{2} \cdot a_{8} = 8$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{6}} + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为（）

A、20 B、10 C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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9、圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 的公切线条数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、如图（1），在直角梯形 $A B C P$ 中， $A P // B C$ ， $A P ⊥ A B$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A P$ ， $D$ 是 $A P$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 的中点，将 $△ P C D$ 沿 $C D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图（2）．

(1)、在图（2）中，求证： $E F ⊥ P A$ ；

(2)、在图（2）中， $G$ 为线段 $B C$ 上任意一点，若 $A P //$ 平面 $E F G$ ，请确定点 $G$ 的位置．

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11、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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12、已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在 $△ A B C$ 所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在 $△ A B C$ 的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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14、若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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15、如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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16、已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边AB上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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17、如果 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, 6 \vec{e_{2}} - 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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18、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 2, x \leq 0 \\ 3 x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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19、已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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20、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \cdot \cdot \cdot, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \cdot \cdot \cdot +$ $\sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 和 $\{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}\}$ 时，分别判断函数 $f_{2} (x)$ 是否是常数函数？说明理由；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{kπ}{12} ， k \in N ， k \leq 12\}$ ，求函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的概率；

(3)、写出函数 $f_{n} (x) (n \geq 2)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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