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相关试卷

1、阅读下面材料：在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{m} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w} .$ 根据上述材料，解决下面问题：直线 $l$ 是两个平面 $x - 2 y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则（）是 $l$ 的一个方向向量．

A、 $(2, 1, 4)$ B、 $(1, 3, 5)$ C、 $(1, - 2, 0)$ D、 $(2, 0, - 1)$

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2、若直线 $l_{1} : \sqrt{3} x - y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 2 \sqrt{3} = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为.

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3、在空间直角坐标系中，点 $(4, - 1, 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 4, - 1, 2)$ B、 $(- 4, 1, - 2)$ C、 $(4, 1, - 2)$ D、 $(4, - 1, - 2)$

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4、已知函数 $F (x) = x^{2} f (x)$ ，且 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $sin x$ B、 $ln (x + 1)$ C、 $e^{x}$ D、 $x - 1$

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5、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，M，N分别是CD， $A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1}$ ， BC的中点，则下列说法正确的有（）

A、E，F，M，N四点共面 B、BD与EF所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、在线段BD上存在点P，使 $P C_{1} ⊥$ 平面EFM D、在线段 $A_{1} B$ 上任取点Q，三棱锥 $Q - E F M$ 的体积不变

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6、已知 $\frac{2 sin (π - x) - sin (\frac{π}{2} + x)}{5 cos (\frac{3 π}{2} + x) + 3 cos (2 π - x)} = \frac{3}{13}$ .

(1)、求 $tan x$ 的值；

(2)、若 $sin x, cos x$ 是方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 的两个根，求 $m^{2} + 3 n$ 的值.

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7、已知实数 $x > 0, y > 0, \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是.

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8、已知 $f (3 x + 1) = 4 x + 3$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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9、函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{5}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 2) \cup (2, 3]$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, 3)$

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10、若 $\cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos 2 α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，并且 $α, β$ 均为锐角，且 $α < β$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、坐标平面内点 $P$ 的坐标为 $(sin 5, cos 5)$ ，则点 $P$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时，它的公式表达式如下： $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + \dots + \frac{f^{n} (0)}{n!} x^{n} + \dots$ ．注： $f^{'} (0)$ 表示函数 $f (x)$ 在原点处的一阶导数， $f^{″} (0)$ 表示在原点处的二阶导数，以此类推，和 $f^{n} (0) (n \geq 3)$ 表示在原点处的 $n$ 阶导数．

(1)、求 $f (x) = ln (1 + x)$ 的泰勒公式（写到含 $x^{3}$ 的项为止即可），并估算 $ln 1.1$ 的值（精确到小数点后三位）；

(2)、当 $x > 0$ 时，比较 $ln (1 + x)$ 与 $x - \frac{x^{2}}{2}$ 的大小，并证明；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{2 k^{2}} < \ln (1 + n) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ ．

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13、已知函数 $f (x) = sin x cos x + {cos}^{2} x$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、函数 $f (x)$ 最大值；

(3)、求 $f (x)$ 的单调增区间.

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14、（1）设 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $α + β$ 的值；
（2）化简求值： $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °)$ ．

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ $(A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列四个结论：
① $f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{6}, 3)$ 对称；
② $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；
③ $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减；
④ $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12})$ 上的值域为 $(1, 3)$ .
正确结论的序号为.

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16、若函数 $f (x) = sin x - x + 1$ ，则不等式 $f (x + 1) + f (2 - 2 x) > 2$ 的解集为．

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17、化简： $\frac{\sin (180 ° - α) \cos (180 ° - α) \tan (90 ° - α)}{\sin (270 ° + α)} =$ .

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18、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + π)$ 为奇函数， $f (x + 2 π)$ 为偶函数.当 $x \in [0, π]$ 时， $f (x) = sin x$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (\frac{5 π}{2}) = - 1$ B、 $f (x)$ 在 $(3 π, \frac{7 π}{2})$ 上单调递减 C、点 $(8 π, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 D、方程 $f (x) + lg x = 0$ 有5个实数解

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19、设 $f (x) = \ln (\frac{2}{1 - x} + a)$ 是奇函数，则使 $f (x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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20、“ $- 2 < a < 2$ ”是“函数 $f (x) = lg (x^{2} - a x + 1)$ 的值域为 $R$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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