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相关试卷

1、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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2、已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在 $△ A B C$ 所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在 $△ A B C$ 的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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4、若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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5、如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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6、已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边AB上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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7、如果 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, 6 \vec{e_{2}} - 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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8、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 2, x \leq 0 \\ 3 x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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9、已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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10、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \cdot \cdot \cdot, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \cdot \cdot \cdot +$ $\sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 和 $\{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}\}$ 时，分别判断函数 $f_{2} (x)$ 是否是常数函数？说明理由；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{kπ}{12} ， k \in N ， k \leq 12\}$ ，求函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的概率；

(3)、写出函数 $f_{n} (x) (n \geq 2)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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12、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{2}{3 - i}$ 的虚部为.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．定义：若存在 $k \in Z$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} - T_{n} = k$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”．

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“2数列”，求 $a_{5}$ ．

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的平方和为 $G_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，满足 $b_{n} = 2^{G_{n} - T_{n}}$ ，求 $k$ 的值和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

(3)、若 $a_{1} > 1$ ， $k > 0$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 数列”， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > ln T_{n} + n$ ．

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x, g (x) = ln (x + 2) - a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $f^{'} (x) > g (x)$ 恒成立；

(3)、证明： $ln 2 + {(ln \frac{3}{2})}^{2} + {(ln \frac{4}{3})}^{3} + \cdot \cdot \cdot + {(ln \frac{n + 1}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

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16、（1）已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\sin β$ 的值.
（2）已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，若 $α$ 在第三象限，求 $\sin (2 α + \frac{π}{4})$ 的值.

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 28$ ， $a_{1} + a_{4} = 5$ ，若 $4 a_{n} + a_{m} = a_{17}$ $(m, n \in N^{*})$ ，则 $n^{2} + m^{2}$ 的最小值为.

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18、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{5} = 12$ ， $S_{7} = 63$ ，设 $b_{n} = \frac{\sin 3}{\cos a_{n} \cos a_{n + 1}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为.

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19、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为.

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20、已知 $0 < x < y < π ， e^{y} sin x ＝ e^{x} sin y$ ，则（）

A、 $sin x < sin y$ B、 $cos x > - cos y$ C、 $sin x > cos y$ D、 $cos x > sin y$

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