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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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2、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) \cdot x^{m} (m \in R)$ 是定义在R上的偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{3}, 81]$ 时，求函数 $g (x) = f ({log}_{3} x) - 2 {log}_{3} [f (x)] + 2$ 的最大值，并求对应的自变量 $x$ 的值．

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3、已知角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边，点 $P (4, - 3 m)$ 在角 $α$ 的终边上，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，

(1)、求 $m$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (α + \frac{π}{2}) \tan (π - α)}{\sin (\frac{3 π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值．

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4、设全集 $U = R$ ，已知集合 $A = \{x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} + 3 x - 10 < 0\}$ ，

(1)、求 $A \cap B$ 和 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $C = \{x |a \leq x \leq 2 a + 2\}$ 且 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + a + 1$ 恰好有五个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{4}{3}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $sin θ - cos θ$ 的值为.

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7、计算： ${(2 \frac{1}{3})}^{0} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(\frac{1}{3})}^{1 - \log_{3} 2} \cdot \log_{4} 9 \cdot \log_{27} 4 =$ ．

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8、中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为 $S_{1}$ ，其圆心角为 $θ$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{θ}{2 π - θ}$ B、若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{2}$ ，扇形的半径 $R = 3$ ，则 $S_{1} = 2 π$ C、若扇面为“美观扇面”，则 $θ = (3 - \sqrt{5}) π$ D、若扇面为“美观扇面”，半径 $R = 20$ ，则扇形面积为 $200 (3 - \sqrt{5}) π$

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9、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 2 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} + 3 x + 2 > 0$ ” B、 $a < 4$ 是 $a < 3$ 的必要不充分条件 C、函数 $f (x) = \log_{3} (x^{2} + 2 x - 3)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 1)$ D、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, - 1)$ ．

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10、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - a - 1)$ ，下列说法正确的有（）

A、存在实数 $a$ ，使 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、若函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 1)$ C、对任意正实数 $a, f (x)$ 的值域为 $R$ D、函数 $f (x)$ 一定有最小值

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11、已知正实数a、b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12、下列结论中错误的是（）

A、终边经过点 $(m, m) (m > 0)$ 的角的集合是 $\{α |α = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ ； B、扇形的圆心角为 $0.5$ 弧度，周长为 $15$ ，则它的面积为 $9$ ； C、将表的分针拨慢 $10$ 分钟，则分针转过的角的弧度数是 $\frac{π}{3}$ ； D、若 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第二象限角．

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13、已知 $a = {(\sin 1)}^{- 0.1}, b = 3^{- \sin 1}, c = \log_{2} (\sin 1)$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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14、下列函数，在其定义域内既满足 $f (- x) = - f (x)$ 又满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 的是（）

A、 $f (x) = 3^{x}$ B、 $f (x) = \log_{3} x$ C、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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15、已知集合 $A = \{x \in Z |x^{2} \leq 4\}$ ， $B = \{x \in R |\frac{1}{4} \leq 2^{x} < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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16、点P是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点，已知 $A B = A D = 2, A A_{1} = \sqrt{2}, \vec{A P} = x (\vec{A B} + \vec{A D}) + y \vec{A A_{1}} (2 x + y = 1)$ ， Q是平面BC₁D上的动点，满足 $P Q = 2$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值是.

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17、（1）求与向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ 共线且满足方程 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 18$ 的向量 $\vec{b}$ 的坐标；
（2）已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (4, 5, - 1)$ ， $C (- 2, 2, 3)$ ，求点 $P$ 的坐标使得 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{A C})$ ；
（3）已知 $\vec{a} = (3, 5, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 8)$ ，求：① $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；② $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；③确定 $λ$ 、 $μ$ 的值使得 $λ \vec{a} + μ \vec{b}$ 与 $z$ 轴垂直，且 $(λ \vec{a} + μ \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 53$ .

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18、过点 $P (2 ， 3)$ ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $3 x - 2 y = 0$ D、 $4 x - 2 y + 5 = 0$

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19、棱长为 $1$ 的正四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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20、函数 $y = \log_{a} x + a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $(k, b)$ ，若 $m + n = b - k$ 且 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $\frac{9}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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