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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于直线 $A C$

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2、设 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $6 + \sqrt{7}$ B、 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{7}{3} π$ D、 $△ A B C$ 中线 $C D$ 长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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3、已知 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）

A、 $z_{1} z_{2} = |z_{1} z_{2}|$ B、 $z_{1}^{2} < {|z_{2}|}^{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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4、在 $△ A B C$ 中，若动点 $P$ 满足 ${\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{C B} \cdot \vec{A P} = {\vec{A B}}^{2}$ ，则 $P$ 点的轨迹一定经过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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5、一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $35 °$ 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 $65 °$ ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 $70 °$ ，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、 $20 \sqrt{2}$ 海里

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6、已知 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $\cos C$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7、已知 $a, b, c$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α, a ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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8、如图，已知 $\overset{⃑}{A P} = \frac{4}{3} \overset{⃑}{A B}$ ，用 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}$ 表示 $\overset{⃑}{O P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$

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9、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、1

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10、函数 $f (x) = x^{2} \log_{4} \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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12、如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ⊥ C D, A B / / C D$ ， $A B = A D = P D = 2, C D = 4$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上靠近 $P$ 端的三等分点，点 $F$ 是棱 $P A$ 上一点.

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离；

(3)、求平面 $B D E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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13、随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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14、不等式 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $[1, 3]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(6, + \infty)$

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x < 3\}, B = \{x |2^{x} + x < 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、设 $g (x) = f (2 \sqrt{5} x) + f (\frac{x^{2}}{20})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 401$ D、所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{14}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成的区域的面积和为 $\frac{40}{9}$

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17、对于 $z_{0}, z_{1}, z_{2} \in C$ ，记 $k = |\frac{z_{1} - z_{0}}{z_{2} - z_{0}}|$ 为 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”.若取遍 $|z_{0}| = r (r > 0)$ ，记 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $|z_{0}| = r$ 的“差比模”的最大值为 $k_{max}$ ，最小值为 $k_{min}$ ，若 $k_{max} + k_{min} = 2$ ，则称 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的.

(1)、若 $z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{1} = 1, z_{2} = - 1$ ，求 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”；

(2)、若 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i, z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，是否存在 $r < 2$ ，使得 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的？若存在，求出 $r$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、若 $z_{1} = a, z_{2} = b i, a, b \in R$ 且 $a, b > r$ ，若 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的，求 $\frac{b^{2} - a^{2}}{r^{2}}$ 的值.

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18、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 是椭圆 $E$ 的一个顶点， $A, B$ 分别是椭圆的左右顶点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，设直线 $A P$ ， $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 3 k_{1}$ ，求证：直线 $P Q$ 经过定点.

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $M$ 是线段 $P D$ 上的一点（不包括端点）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A$ 点到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、试确定点 $M$ 的位置，使直线 $M A$ 与平面 $P C D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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20、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (x) = 2^{1 - x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，不等式 $m f (x) \leq {[g (x)]}^{2} + 2 m + 4$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $h (x) = {[\frac{f (x) + g (x)}{2}]}^{2} + {[\frac{g (x) - f (x)}{2}]}^{2} - 2 m g (x)$ ，且 $h (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5