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相关试卷

1、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设 $E, F$ 是锐角 $∠ A P B$ 的一边 $P A$ 上的两点，试在边 $P B$ 上找一点 $Q$ ，使得 $∠ E Q F$ 最大．”如图，其结论是：点 $Q$ 为过 $E, F$ 两点且和射线 $P B$ 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x o y$ 中，给定两点 $E (2, 4), F (4, 2)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上移动，则 $∠ E Q F$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $5 a_{5} - 2 S_{5} = 2$ ，则 $3 a_{6} - S_{6} =$ （）．

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、6

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3、已知方程 $\frac{x^{2}}{k - 2} - \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）．

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 3) \cup (3, 4)$

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4、样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（）．

A、19 B、22 C、21 D、18

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5、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 3 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ .

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、-4 D、4

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7、某药厂为获得新研发药品的治愈率 $p$ ，委托某公司进行调查，首轮抽取 $n$ 个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．

(1)、假设 $p = \frac{1}{2}$ ，回答以下问题：
（ⅰ）若 $n = 10$ ，求患者痊愈比例为 $40 %$ 到 $60 %$ 的概率．
（ⅱ）该公司第二轮再抽取 $m$ 个患者进行试验．为简化运算过程，拟用 $C_{m + n}^{k} {(\frac{1}{2})}^{m + n}$ 计算两轮试验治愈总人数为 $k (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m + n)$ 的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由．

(2)、在 $n$ 重伯努利试验中，随机变量 $X_{n} ～ B (n, p)$ ，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理， $X_{n}$ 近似服从正态分布 $N (n p, n p (1 - p))$ ，故常用以下公式简化概率计算： $P (X_{n} \leq t) = ϕ (\frac{t - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}})$ ，其中 $ϕ (x_{0}) = P (ξ \leq x_{0})$ ，随机变量 $ξ ～ N (0, 1)$ ．若用该公司首轮试验的治愈频率 $\hat{p}$ 来估计治愈率 $p$ ，为保证有 $90 %$ 把握，使得 $\hat{p}$ 与 $p$ 之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？
参考数据： $ϕ (1.6) = 0.95$ ．

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8、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $\exists d \in R$ ，使得 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} + a_{n} = d$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”．已知 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $d = 8$ ．

(1)、求 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{2025}$ ．

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9、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A B$ 为底面直径， $C$ 为圆锥底面圆周上异于 $A, B$ 的一点， $D$ 为 $P A$ 上一点，且 $P B / /$ 平面 $O C D$ ．

(1)、求 $\frac{P D}{P A}$ 的值；

(2)、设 $P A = A B = 4$ ，二面角 $P - B C - O$ 的正切值为 $\sqrt{6}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $O C D$ 所成角的大小．

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10、某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为 $1, 2, 3, 4$ 四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了 $1$ 号箱子，此时主持人打开 $2$ 号箱子的概率为，在主持人打开 $2$ 号箱子的情况下，奖品在 $4$ 号箱子的概率为．

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11、准线方程为 $x = - 2$ 的抛物线的标准方程为.

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12、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{3} + 3 x^{2} + 3 x y^{2} - 3 y^{2} = 0$ 就是其中之一，如图所示．已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是 $C$ 上一点，则（）

A、 $x_{0} \in [- 3, 1)$ B、 $y_{0} \leq \sqrt{\frac{3 x_{0} + 9}{1 - x_{0}}}$ C、当 $x_{0} < 0$ 时， $y_{0}$ 的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$ D、曲线 $C$ 在 $y$ 轴左侧所围成的区域面积大于2

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13、已知函数 $f (x) = - 2 {sin}^{3} x + 2 sin x + \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, \sqrt{3})$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递减 D、直线 $y = 2 x + \sqrt{3} - 4 π$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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14、某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（）

A、中位数不变 B、极差不变 C、平均数大小关系不确定 D、方差变小

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A, B$ 为双曲线 $C$ 上的两点，若 $\vec{F_{2} B} = 3 \vec{F_{1} A}$ ，且以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆恰好过点 $A$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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16、如图，将绘有函数 $f (x) = M sin (\frac{π}{3} x + φ) (M > 0, 0 < φ < π)$ 部分图像的纸片沿 $x$ 轴折成直二面角，此时 $A, B$ 之间的距离为 $\sqrt{15}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、设函数 $f (x) = a (e^{x} + e^{- x}) + 1 (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 恰有一个交点，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则（）

A、 $cos A > 0$ B、 $B = 30 °$ C、 $a = c$ D、 $2 b^{2} = a^{2} - c^{2}$

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19、已知平面 $α$ ， $β$ 和直线 $m$ ， $n$ ， $α \cap β = n$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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20、图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A、 $B \cap (A \cup C)$ B、 $B \cap (A \cap C)$ C、 $B \cap ∁_{U} (A \cup C)$ D、 $(A \cup B) \cap (B \cup C)$

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