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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x}$ .
（1）当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求a的值.

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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3、求下列函数的导数．

(1)、 $y = {(x + 1)}^{99}$ ；

(2)、 $y = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ ；

(3)、 $y = (2 x - 3) \sin (2 x + 5)$ ；

(4)、 $y = \frac{\cos (3 x - 2)}{2 x}$ ；

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4、一个箱子的容积与底面边长x的关系为 $V (x) = x^{2} (\frac{90 - x}{2}) (0 < x < 90)$ ，则当箱子的容积最大时， $x =$ ．

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5、设函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ 则 $f (x)$ 的最大值为，最小值为．

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6、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - a e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a =$ .

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty, - 2)$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- \infty, - 2)$ ， $(0, + \infty)$ C、 $x = 2$ 处是函数 $f (x)$ 的极值点 D、 $x = - 1$ 时，函数的导函数小于0

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8、已知函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ 叫做函数值的增量 B、 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 叫做函数在 $[x_{0}, x_{0} + Δ x]$ 上的平均变化率 C、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $y^{'}$ D、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $f^{'} (x_{0})$

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9、下列求导数运算正确的有（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 $(\frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $(\log_{3} x)^{'} = \frac{1}{3 \ln x}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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10、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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11、已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $e$

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12、曲线 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $- \frac{π}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- π$

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14、设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - Δ x)}{2 Δ x} =$ （）．

A、 $2 f^{'} (x_{0})$ B、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ C、 $f^{'} (x_{0})$ D、 $4 f^{'} (x_{0})$

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15、已知某质点运动的方程是 $s = 2 + \frac{1}{t}$ ，当t由1变到2时，其路程的增量 $Δ s$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围.

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17、如图，在几何体中，四边形 $A B C D$ 为菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为O，四边形 $D C E F$ 为梯形， $D C ∥ E F$ .

(1)、若 $D C = 2 E F$ ，求证： $O E / /$ 平面 $A D F$ ；

(2)、若 $F B = F D$ ，求证：平面 $A F C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, b)$ ， $\vec{n} = (\cos (\frac{π}{2} - B), \cos (\frac{π}{2} - A))$ ， $\vec{p} = (2 - b, 2 - a)$ .

(1)、若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，边长 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $P C$ 、 $B C$ 的中点，且 $P A = P B$ ， $A C = B C$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、证明：平面 $P A B //$ 平面 $F G H$ .

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20、如图，在边长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点，

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A D C$ 的体积．

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