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相关试卷

1、学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
$sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)],$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)],$
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)],$
$cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)] .$

(1)、证明： $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$

(2)、应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知 $cos (α + β) cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ，求 ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β$ 的值；
（ii）若 $α + β + γ = π$ ，求 $cos α + 2 cos β cos γ + 2 cos α cos β cos γ$ 的最大值.

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2、在锐角三角形 $A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围；

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3、已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平面内的两个向量， $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$

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4、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，且 $|\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ （ $x, y \in R$ ），则 $x + y$ 的最大值是.

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5、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $a = \sqrt{13}$ ，则 $\frac{b + c}{sin B + sin C} =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、由函数 $y = \cos 2 x$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位可得到函数 $f (x)$ 的图象

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7、下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）（多选）

A、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2), \vec{e_{2}} = (5, 7)$ B、 $\vec{e_{1}} = (3, 5), \vec{e_{2}} = (6, 10)$ C、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (3, 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1, 0), \vec{e_{2}} = (0, 0)$

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8、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c \cdot cos C = a \cdot cos A$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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9、如图， $A$ 、 $B$ 两点在河的两岸，为了测量 $A$ 、 $B$ 之间的距离，测量者在 $A$ 的同侧选定一点 $C$ ，测出 $A$ 、 $C$ 之间的距离是 $100 m$ ， $∠ B A C = 105 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为（） $m$ ．

A、50 B、 $50 \sqrt{2}$ C、100 D、 $100 \sqrt{2}$

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10、已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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11、如图，正方形 $A M N D$ 和正方形 $B M N C$ 有公共边，与向量 $\vec{A N}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{D M}$ B、 $\vec{M C}$ C、 $\vec{N B}$ D、 $\vec{A D}$

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12、 $cos 36 ° cos 6 ° + sin 36 ° sin 6 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数 $y = f (x)$ 满足如下条件：①在闭区间 $[a, b]$ 上的图象是连续的；②在开区间 $(a, b)$ 上可导，则在开区间 $(a, b)$ 上至少存在一个实数 $ξ$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ 成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

(1)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + m ln x, \forall a, b \in (1, 3)$ 且 $a < b$ ，
（i）若 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（ii）当 $- 1 \leq m < 0$ 时，求证： $\frac{2 f (a) + f (b)}{3} > f (\frac{2 a + b}{3})$ .

(2)、已知函数 $g (x) = x ln \frac{a e^{x}}{x} + a e^{x} - x (a > 0)$ 有两个零点，记作 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $0 < 2 x_{1} < x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + 2 x_{2}} > 32$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{9}{10}$ .

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15、 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.

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16、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x - 2) - f (- 2)}{Δ x} < 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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17、已知 $A, B$ 分别为曲线 $y = e^{x} + x + 1$ 和直线 $y = 2 x - 3$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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18、若 $C_{12}^{m} = C_{12}^{m - 2}$ ，则 $C_{m}^{1} + C_{m}^{2} + \dots + C_{m}^{m}$ 的值为（）

A、63 B、64 C、127 D、128

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19、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (1) - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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20、某物体的位移 $y$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $S$ )满足函数关系式 $y = a \sin t - t$ ，其中 $a$ 为常数.若当 $t = 0$ 时，该物体的瞬时速度为 $1 m / s$ ，则当 $t = \frac{π}{2}$ 时，该物体的瞬时速度为（）

A、 $1 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $\sqrt{3} - 1 m / s$ D、 $\sqrt{3} + 1 m / s$

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