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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = a - b i (a \in R, b \in R)$ ，且 $b \neq 0$ ，则以下四个命题正确的是（）

A、 $z_{1} + z_{2} \in R$ B、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数 D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为虚数

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2、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点到 $y = \frac{1}{2}$ 的距离为1， $M$ 是抛物线 $C$ 上的动点， $M$ 到 $y = - \frac{1}{2}$ 的距离与 $|M P|$ 之和的最小值为1，则点 $P$ 的轨迹围成的面积是（）

A、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$ D、 $4 π$

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3、曲线 $y = sin (ω x + 1)$ 与 $y = - 2 cos (ω x + 2)$ 在 $x \in (0, π)$ 内有3个交点，则 $ω$ 可能的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数， $a - \frac{1}{b} = 2$ ，则 $\frac{5}{a} - b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2} - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $3 - 2 \sqrt{5}$ D、 $3 + 2 \sqrt{5}$

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5、把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{2} + 1$

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6、曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m + 1} - \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ ，则“ $m > - 1$ ”是“曲线 $C$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知直线 $l_{1}$ ： $m x + 2 y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x + y + 4 m = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、4 D、1

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8、直线 $l : x = 0$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、不存在

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9、已知函数 $f (x) = k \ln x + \frac{1}{e^{x}} (k \in R)$ ．

(1)、已知函数 $f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求 $k$ 的值．

(2)、若函数 $y = f (x)$ 为增函数，求 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．证明： $\frac{e}{e^{x_{2}}} - \frac{e}{e^{x_{1}}} > 1 - \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ；

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10、某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩 $x$ （满分100分）与绩效等级优秀率 $y$ ，如下表所示：
$x$
32
41
54
68
74
80
92
$y$
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 $y = λ e^{c x}$ 作为回归方程．令 $z = ln y$ ，经计算得 $\bar{z} = - 0.642$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i} - 7 \bar{x} \bar{z}}{\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} - 7 {\bar{x}}^{2}} \approx 0.02$

(1)、已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；

(2)、根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 $x ～ N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．经计算 $s \approx 20$ ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 $0.78$ 的概率．
参考公式与数据：
① $ln 0.15 \approx - 1.9, e^{1.2} \approx 3.32, ln 5.2 \approx 1.66$ ．
②线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
③若随机变量 $X ～ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c = 2 b$ ， $\frac{\sin A}{\sin C} = 3 \cos C$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $A B$ 边上的高．

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12、已知“ $⟨x⟩$ ”表示小于x的最大整数，例如 $⟨5⟩ = 4$ ， $⟨- 2.1⟩ = - 3$ .若 $sin ω x = ⟨x⟩ (ω > 0)$ 恰好有四个解，那么 $ω$ 的范围是.

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13、已知向量 $\vec{a} = (t - 2 ， 3), \vec{b} = (3 ， - 1)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不能作为平面向量的一组基底，则 $|\vec{a}| =$ ．

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14、已知 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (π + x) = f (x)$ B、 $f (- x) = - f (x)$ C、 $\forall x \in (0, \frac{π}{4})$ ， $f (x) > 1$ D、 $\exists x_{0} \in (0, \frac{π}{4})$ ， $f^{'} (x_{0}) = 0$

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15、 $\frac{1 + \tan 190^{°}}{1 - \tan 10^{°}} - \frac{2 \cos 70^{°}}{\sin 40^{°}} =$ （）

A、 $\tan 20^{°}$ B、 $\tan 70^{°}$ C、 $- \tan 10^{°}$ D、 $- \tan 40^{°}$

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16、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (- x)$ ，当 $x \in (1, 2]$ 时 $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $0$

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17、对于任意非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

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18、若集合 $A = {x ∣ x = 4 k - 3, k \in N}, B = {x ∣ (x + 3) (x - 9) \leq 0}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ ，椭圆 $Γ_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ ，若 $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = λ (λ > 0)$ ，则椭圆 $Γ_{1}$ 与椭圆 $Γ_{2}$ 为相似椭圆，其中 $λ$ 为相似比.已知椭圆 $Γ_{1}$ 的长轴长为4，且过点 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), P$ 为椭圆 $Γ_{2}$ 上异于其左，右顶点 $A, B$ 的任意一点.

(1)、若 $λ = \sqrt{2}$ ，求椭圆 $Γ_{2}$ 的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，若与椭圆 $Γ_{1}$ 有且只有一个公共点的直线 $l_{1}, l_{2}$ 恰好相交于点 $P$ ，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、若 $λ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，设直线 $P A$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $D, E$ ，直线 $P B$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $G, H$ ，求 $|D E| + |G H|$ 的值.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ // $B C, A D ⊥ C D, P A ⊥ P D, A D = 2 P D = 4 B C = 4, C D = 3$ .在平面 $A B C D$ 内过 $B$ 作 $B O$ // $C D$ ，交 $A D$ 于 $O$ ，连 $P O$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、点 $E$ 是平面 $P O B$ 上的动点，若直线 $A E$ 与平面 $P C D$ 所成的角为30°，求 $O E$ 的最小值.

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$x$	32	41	54	68	74	80	92
$y$	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94