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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为a，b，c ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = \sqrt{10}, b = 2, c = 3$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}, B = 4 5^{°}$ ，则 $A = 6 0^{°}$ D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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2、已知 $i$ 是虚数单位，在复平面内，下列说法正确的是（）

A、 $- i^{2} = 1$ B、 $(- i)^{2} = 1$ C、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$ D、若复数 $z$ 满足 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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3、窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内．如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上，下边与正八边形的上、下边平行，边长都是4．如图2，A，B是中间正方形的两个相邻的顶点， $P$ 是外框正八边形上的一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值是（）

A、 $16 + 8 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2} + 8$ C、 $8 \sqrt{2} + 8$ D、 $16 \sqrt{2} + 16$

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4、已知圆锥的底面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $9 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$

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5、如图所示，矩形 $O^{^{'}} A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 $O^{^{'}} A^{^{'}} = 6 c m$ ， $C^{^{'}} D^{^{'}} = 2 c m$ ，则原图形OABC的面积是（）cm².

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、6 D、 $24 \sqrt{2}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (k, 3), \vec{b} = (1, 4), \vec{c} = (2, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $k =$ （）

A、3 B、0 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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7、 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且 $a = 1, c = \sqrt{3}, B = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8、已知三角形 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若 $a = 5, b = 8, C = 6 0^{°}$ ，则 $\bar{C A} \cdot \bar{C B} =$ （）

A、 $- 20 \sqrt{3}$ B、-20 C、20 D、 $20 \sqrt{3}$

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9、若 $(1 - i) z = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足 $| \vec{R P} + \vec{R Q} | =$ 2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，若斜率为k（其中k≠0）的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积S的取值范围.

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11、已知i是虚数单位，a ， $b \in R$ ，设复数 $z_{1} = 2 a - \sqrt{3} i$ ， $z_{2} = 2 b + i$ ， $z_{3} = a + b i$ ，且 $| z_{3} | = 1$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数，求 $z_{3}$ ；

(2)、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A ， B ，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a ， b ，使向量 $\vec{O B}$ 逆时针旋转 $90 °$ 后与向量 $\vec{O A}$ 重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O ， A ， B三点不共线，记 $△ A B O$ 的面积为 $S (a, b)$ ，求 $S (a, b)$ 及其最大值.

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 4$ ， $\frac{2 b c o s B}{c} = c o s A + \frac{s i n A}{t a n C}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、已知直线 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线，且与 $A C$ 交于点 $D$ ，若 $B D = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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13、“疫苗犹豫”，即尽管疫苗可及，却迟迟未接种或拒绝接种疫苗的现象.成人接种新冠疫苗的犹豫，主要原因是对感染新冠肺炎的风险缺乏了解，心存侥幸，认为即使不接种也未必会感染，对感染的后果也认识不足.现从某小区未接种的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组 $[18, 28)$ ，第2组 $[28, 38)$ ，第3组 $[38, 48)$ ，第4组 $[48, 58)$ ，第5组 $[58, 68)$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)、现先从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.

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14、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $60 °$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于A ， B两点．若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积是 $△ B F_{1} F_{2}$ 面积的2倍，则 $C$ 的离心率为．

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15、已知实数x ， y满足 $x > y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ， $M = \frac{3}{x + 2 y} + \frac{1}{2 x - y}$ 的最小值为.

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16、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A ， B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点P满足 $\frac{P A}{P B}$ ＝3，则 $\vec{P A}$ · $\vec{P B}$ 的最小值为．

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17、如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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18、某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（）

A、首选科目为历史的学生样本容量为20 B、所有样本的均值为87分 C、每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 $\frac{2}{5}$ D、首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13

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19、 $△ A B C$ 中， $A = 3 B = 9 C$ ， $c o s A c o s B + c o s B c o s C + c o s C c o s A =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + ∞)$ ，且 $(x + y) f (x + y) = x y f (x) f (y), f (1) = e$ ，记 $a = f (\frac{1}{2}), b = f (2), c = f (3)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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