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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域上是减函数 B、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有且只有两个零点 C、函数 $y = 2^{|x|}$ 的最小值是1 D、在同一坐标系中函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ 2^{| x |}, x < 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = x^{2} + a x + b$ ，若方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有 $5$ 个不相等的解，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4)$ B、 $(- \infty, - 8)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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3、函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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4、若函数 $f (x) = - x^{2} + 2 a x + 1 - a, x \in [0, 1]$ 的最大值为 $2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $1$ 或 $2$ B、 $- 1$ 或 $- 2$ C、 $- 1$ 或 $2$ D、 $1$ 或 $- 2$

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5、当 $a \neq 0$ 时，函数 $y = a x + b$ 和 $y = b^{a x}$ 的图象只可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知全集 $U = {x \in Z | | x - 2 | < 3}$ ， $A = {x \in N^{*} | x^{2} - 2 x < 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${3, 4}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 3, 4}$

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7、已知 $M, N$ 为 $R$ 的子集，且 $M \cap N = \emptyset$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $M$ C、 $N$ D、 $R$

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8、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(\sqrt{3}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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9、“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列 $\{a_{n}\}$ 是外观数列，将第n项 $a_{n}$ 的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为 $b_{n}$ .例如：外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1时， $b_{1} = 1 ， b_{2} = 2 ， b_{3} = 1 ， b_{4} = 2 ， b_{5} = 3 ， b_{6} = 2 .$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为12的外观数列，请直接写出 $a_{2} ， a_{3}$ 以及 $b_{2} ， b_{3}$ .

(2)、设集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 999\}$ ，若外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} \in A$ .
（i）探究 $b_{n}$ 的最大值，并证明你的结论；
（ii）求所有的 $a_{1} \in A$ ，使得存在 $n_{0} \neq 1 ，$ 有 $a_{n_{0}} = a_{1} .$

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10、已知函数 $f (x) = \ln x - a (x - \frac{1}{x}), g (x) = \frac{2 \ln x}{x + 1} - x - m$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.

(2)、若函数 $g (x)$ 存在两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $x_{1} < x_{2}$
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明： $2 < x_{1} + x_{2} < 1 - m$ .

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11、已知抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的动直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于 $A, B$ 两点，其中点 $A$ 位于第一象限.当 $|A F| = 2$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切于点 $P (1, 0)$ .

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 在抛物线 $Γ$ 上，且Γ在点 $Q$ 处的切线与直线 $l$ 平行，求 $△ Q F A$ 面积的最小值以及此时直线 $l$ 的方程.

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12、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B B_{1}$ 的中点，P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，F为棱 $A B$ 上一点，且 $A_{1}, P, M, F$ 四点共面.若 $A N ⊥ A_{1} C_{1} .$

(1)、证明：平面 $A N P ⊥$ 平面 $A_{1} P M F$ ；

(2)、设 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}} ，$ 是否存在实数λ，使得平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $P M N$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3} ？$ 若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos C = \frac{2 b + c}{2 a} .$

(1)、求 $A$ ；

(2)、已知 $O$ 为 $B C$ 的中点， $O M ⊥ A B$ 于 $M, O N ⊥ A C$ 于 $N$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 2 ，$ 求 $△ A B C$ 的面积.

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14、绝大多数比赛都采用“ $(2 n - 1)$ 局 $n$ 胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局. 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行 $2 n (n \in N_{+})$ 局，谁赢的局数大于 $n$ 局，谁就获得最终胜利. 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为 $p (0 < p < \frac{1}{2}) ，$ 乙获胜的概率均为 $(1 - p)$ . 记甲赢得整个比赛的概率为 $P_{2 n}$ . 若 $p = \frac{2}{5} ，$ 则 $P_{4} - P_{2} =$ ，若 $p = \frac{5}{12} ，$ 则当 $2 n =$ 时， $P_{2 n}$ 最大.

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15、已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = 3 \times 2^{n} - a_{n}$ 其前2025项的和为 $2^{2026}$ ，则 $a_{2 n - 1} =$ .

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \cos x - a x, x > 0 \\ b \cos x + x, x < 0 \end{matrix}$ ，为奇函数，其中 $a ， b \in R$ ，则 $a + b =$

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17、已知直线 $l ： y = k x + 2$ （其中 $- \sqrt{3} < k < \sqrt{3} ）$ 与双曲线C： $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的上支相交于 $A, B$ 两点， $M （ x_{0}, y_{0} ）$ 为线段 $A B$ 的中点.过点 $M$ 斜率为 $\pm \sqrt{3}$ 的两条直线分别与双曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点.则下列结论中正确地是（）

A、点 $M$ 的坐标满足. $y_{0}^{2} - 2 y_{0} - 3 x_{0}^{2} = 0$ B、方程 $(y - y_{0})^{2} - 3 {(x - x_{0})}^{2} = 0$ 表示的图形是直线 $M P$ 和直线 $M Q$ C、直线 $P Q$ 与直线 $l$ 始终保持平行 D、直线 $P Q$ 恒过某个定点

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (e^{x} + 1)}{x}$ ，则下列结论中正确地是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 1)$ 中心对称 C、若 $m + n = 0$ ，则 $|f (m) - f (n)| > 1$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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19、一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量 $Y_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示第 $i$ 次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（）

A、X的分布列为 $P (X = k) = C_{3}^{k} {(\frac{3}{5})}^{k} {(\frac{2}{5})}^{3 - k} ， k = 1 ， 2 ， 3$ B、X的方差 $D (X) = \frac{9}{25}$ C、 $P (Y_{2} = 1) = \frac{3}{5}$ D、 $P (Y_{1} = 1 | Y_{2} = 1) = \frac{1}{2}$

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20、三棱锥 $P - A B C$ 的所有棱长均为2 $\sqrt{3}$ ， O是 $△ A B C$ 的中心，在三棱锥 $P - A B C$ 内放置一个以直线 $P O$ 为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{27} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{27} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{81} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{81} π$

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