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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3}, a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ 或 $18$ B、 $- 18$ C、 $18$ D、2

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的图像如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} n \sin \frac{n π}{2}$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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4、已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为 $a_{n}$ 的前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、20

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{7}}{b_{2} + b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{37}{13}$ B、 $\frac{111}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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6、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) cos 2 x + \sin x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，弓形花园的弦长 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，记弓形花园的顶点为 $M, ∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ O B A = θ (θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}))$ .

(1)、将 $|O A|, |O B|$ 用含有 $θ$ 的关系式表示出来；

(2)、该山庄准备在 $M$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 $O A, O B$ 的长度，才使得喷泉 $M$ 与山庄 $O$ 的距离的值最大？

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8、下列命题正确的是（）

A、 $m < 0$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根的充要条件 B、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - k x + k - 1 < 0$ 对一切 $1 < x < 2$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $k < 3$ C、若关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $\{x | x > 1\}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x - 2} > 0$ 的解集是 $\{x| x > 2$ 或 $x < - 1\}$ D、若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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9、已知正实数 $a$ ， $b$ ，满足 $a + b + \frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 10$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 7]$ B、 $[1, 9]$ C、 $[2, 8]$ D、 $[3, 6]$

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10、已知x，y均为正实数，且x＋y＝1，若 $\frac{1}{x} + \frac{a}{y}$ 的最小值为9，则正实数a的值为

A、2 B、4 C、8 D、80

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11、投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 $X_{n} = \{\begin{matrix} 1, & 第 n 次投出正面, \\ - 1, & 第 n 次投出反面, \end{matrix} (n = 1, 2, 3)$ ．记A表示事件“ $X_{1} + X_{2} = 0$ ”， $B$ 表示事件“ $X_{2} = 1$ ”， $C$ 表示事件“ $X_{1} + X_{2} + X_{3} = - 1$ ”，则（）

A、 $B$ 和 $C$ 互为对立事件 B、事件 $A$ 和 $C$ 不互斥 C、事件 $A$ 和 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 和 $C$ 相互独立

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12、设 $x \in R$ ，则“ $| x - 2 | < 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知角 $α$ ， $β \in (0, π)$ ， $\tan (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\cos β = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\tan (2 α + β)$ 的值.

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14、已知集合 $A$ 是由 $m \times n$ （ $m, n$ 为大于1的整数）个连续的正整数组成的集合.现将集合 $A$ 拆分成 $n$ 个子集 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，且集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 满足：①两两没有公共元素；②元素的个数均为 $m$ 个，则称对集合 $A$ 进行了“ $n$ 个均分拆”.进一步，若集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 又满足条件 $D$ ，则称对集合 $A$ 进行了“条件 $D$ 下 $n$ 个均分拆” .

(1)、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ，请写出对集合 $A$ 进行“2个均分拆”的所有拆法.

(2)、若集合 $A = \{1, 2, 3, \dots 8\}$ ，试判断是否可以对集合 $A$ 进行“条件 $D$ 下2个均分拆”（条件 $D$ 为“ $a b - c d = 1$ ，其中 $a, b, c, d \in B_{i} (i = 1, 2)$ ”），并说明理由.

(3)、若集合 $A = \{t + 1, t + 2, t + 3, \dots, t + 48\}$ ，是否可以对集合 $A$ 进行“条件 $D$ 下16个均分拆”（条件 $D$ 为“集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, 16)$ 中的最大数等于另外的两数之和”）？若能，求出整数 $t$ 的最大值，并给出一种拆法；若不能，说明理由.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{a + x}{ln x} (a \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $- e$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 存在唯一极值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 存在极大值，记作 $h (a)$ ，求证： $ln (h (a)) + |a| < 1$ .
（参考结论：当 $x \to 0^{+}$ 时， $x ln x \to 0^{-}$ .这里 $0^{+}$ 表示从0的右边逼近 $0, 0^{-}$ 表示从0的左边逼近0.）

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16、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ .过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点.抛物线 $C$ 在点 $B$ 处的切线为直线 $m$ ，过点 $A$ 作平行于直线 $m$ 的直线交抛物线 $C$ 于点 $P$ .设点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), P (x_{3}, y_{3})$ .

(1)、求证： $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列；

(2)、求 $△ A B P$ 的面积的最小值.

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17、如图，在等边三角形 $△ A B C$ 中， $Q$ 为边 $B C$ 上一点， $B Q = 2 C Q$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $A B, A C$ 上的动点（不包括端点），若 $∠ M Q N = 120^{\circ}$ ，且设 $∠ C N Q = θ .$

(1)、求证：不论 $θ$ 为何值， $\frac{Q M}{Q N} = 2$ 恒成立.

(2)、当 $△ B M Q$ 和 $△ C N Q$ 的面积相等时，求 $tan θ$ 的值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，且 $△ P A D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形.

(1)、求证： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{6}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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19、在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为.

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20、已知长方体的长，宽，高分别为 $a, b, 3$ ，连接其各面的中心，得到一个八面体.已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为.

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