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相关试卷

1、已知正实数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，定义： $A^{2} = \{a_{i} a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ 称为 $A$ 的平方集．记 $n (A)$ 为集合 $A$ 中的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{2, 3, 5, 7\}$ 求集合 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ ；

(2)、若 $n (A^{2}) = 5050$ ，求 $n {(A)}_{\min}$ ；

(3)、① $n (A)$ 分别取1，2，3时，试比较 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系；
②猜想 $n (A^{2})$ 和 $2 n (A) - 1$ 的大小关系，并证明你的结论．

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2、已知动点M到定点 $F (1, 0)$ 的距离比点M到定直线 $x = - 2$ 的距离小1，直线 $l : y = k (x - 1)$ 交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）

(1)、求点M的轨迹C的方程；

(2)、若过 $(1, 0)$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限）
（i）求四边形 $A C B D$ 面积的最小值．
（i i）设 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为P，Q，求证：直线 $P Q$ 过定点．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + (x - a) \cos x - \sin x$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性.

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4、 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B D$ 面积是 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A D C$ 面积的2倍．

(1)、求 $\frac{sin B}{sin C}$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ， $D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $B D$ 和 $A C$ 的长．

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5、一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b， $c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共个．

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6、已知函数H(x) $= \frac{e^{a x}}{4} + (m + 1) x + {(m + 1)}^{2}$ ，下列说法正确的有（　　）

A、若m＝0，a＝ $-$ 1，则函数H(x)有最大值 B、若m＝ $-$ 1，a≠0，则过原点恰好可以作一条直线与曲线y＝H(x)相切 C、若a＝0，且对任意m∈R，H(x)＞0恒成立，则0≤x≤1 D、若对任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，则a的最小值是 $\frac{2}{e}$

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7、设离散型随机变量X的分布列如下表；
X
1
2
3
4
5
P
m
0.1
0.3
n
0.3
若离散型随机变量 $Y = - 2 X + 3$ ，且 $E (X) = 3.2$ ，则正确的是（）

A、 $m = 0.3$ B、 $n = 0.1$ C、 $E (Y) = - 3.4$ D、 $P (X \leq 3) > P (X > 3)$

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8、在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

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9、函数 $f (x) = lg x$ 与 $g (x) = cos x$ 的图象的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $M$ 在线段 $B D$ 上， $|\vec{M D}| = k |\vec{B D}|$ .若 $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A B}$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11、若函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的定义域为 $[- 1, t]$ ，值域为 $[- 4, 0]$ 则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $1 \leq t \leq 3$ B、 $1 < t < 3$ C、 $- 1 < t < 3$ D、 $- 1 < t \leq 3$

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12、复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{10} i$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10} i$

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13、“ $α = \frac{π}{4}$ ”是“ $\tan α = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若复数 $z$ 满足 $z i = 1 - i$ ，则下列命题正确的有（）

A、 $z$ 的虚部是－1 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、 $z^{2} = 2$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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15、某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{32}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{32}$

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16、抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点 $P (2 \sqrt{2}, 5)$ 且平行于 $y$ 轴的一条光线射向抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的 $A$ 点，经过反射后的反射光线与 $C$ 相交于点 $B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、9 C、36 D、 $\frac{9}{2}$

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17、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $- \frac{9}{25}$

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18、已知集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，则如图中的阴影部分表示（）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$

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19、已知函数 $f (x) = (1 - a x) e^{x} (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a (1 - x)$ 无整数解，求 $a$ 的取值范围.

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20、欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点 $.$ 现有一椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，长轴长为 $4$ ，从一个焦点 $F$ 发出的一条光线经椭圆内壁上一点 $P$ 反射之后恰好与 $x$ 轴垂直，且 $P F = \frac{7}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $A$ 为该椭圆的左顶点，若斜率为 $k$ 且不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且满足 $k (k_{1} + k_{2}) = 2$ ．
①证明：直线 $l$ 过定点；
②若 $|O M |^{2} +| O N |^{2} = 5$ ，求 $k$ 的值．

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X	1	2	3	4	5
P	m	0.1	0.3	n	0.3