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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ；点E在线段 $P D$ 上，且 $P E = 1$ ．

(1)、设平面 $P B C \cap$ 平面 $P A D = l$ ，证明： $B C / / l$ ；

(2)、证明： $A E ⊥ P C$ ；

(3)、线段 $C A$ 上是否存在点M，使得 $E M / /$ 平面 $P B C$ ?若存在，请证明，并求出 $A M$ 的长；若不存在，请说明理由．

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2、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小.

(2)、求 $|3 \vec{a} + 2 \vec{b}|$ .

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} b = 2 a sin B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = c + 1, a = \sqrt{7}$ ，求边 $B C$ 上的高 $A D$ 的长.

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4、如图，棱长为2的正方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ 的中点，在 $E$ ， $F$ ， $C_{1}$ 处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为.

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ； $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ．

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是棱 $B B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B C_{1} //$ 平面 $A E D_{1}$ B、 $F G //$ 平面 $A E D_{1}$ C、点 $C_{1}$ 在平面 $A E D_{1}$ 内 D、点 $F$ 在平面 $A E D_{1}$ 内

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7、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， P为线段 $B C_{1}$ 上一点，Q为平面 $A B C D$ 内一点，则 $D_{1} P + P Q$ 的最小值是（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = |\vec{m} + \vec{n}|$ ，则向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{n}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{n}$

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11、如图， $△ A B O$ 的斜二测直观图是 $△ A^{'} B^{'} O^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, ∠ B^{'} O^{'} y^{'} = 90^{\circ}$ ，则 $△ A B O$ 的面积是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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12、向量 $\vec{a} = (3, t)$ ， $\vec{b} = (6, |\vec{a}|)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $t =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、3 D、±3

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13、设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n, m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ C、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m, n$ 是异面直线 D、若 $α ∥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ∥ n$ 或 $m, n$ 是异面直线

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14、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 - 3 i) = 4 + i^{2026}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、如图，已知斜四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $O$ ，且 $A D = B C = C D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} O = \frac{1}{2}$ ， $A A_{1} ⊥ B C$ ．

(1)、求证：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、已知点 $M$ 满足 $\vec{D_{1} M} = λ \vec{D_{1} B_{1}}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，且平面 $M B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求直线 $A_{1} M$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n + 1} + 2 a_{n} a_{n + 1}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、令 $\{\frac{(2 n - 1) a_{n}}{n (n + 2)}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 首项为2，公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，且满足 $b_{n} = \frac{3}{S_{n}} + \ln \frac{n}{n + 1}$ ．若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \leq m$ 成立，则m的最小值为．

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18、设函数 $f (x) = \ln x - k (x - \frac{1}{x})$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是单调减函数，则k的取值范围是．

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19、已知函数 $f (x) = x e^{a - x} + x$ ， $a \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上单调递增 B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 有且只有一个极值点 C、若 $f (x)$ 有两个极值点，则 $a > 2$ D、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 3$

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20、下列求导计算中，错误的有（）

A、若 $y = \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则 $y^{'} = \cos 2 x$ B、若 $y = \cos \frac{1}{x}$ ，则 $y^{'} = - \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ C、若 $y = x^{2} + e^{2}$ ，则 $y^{'} = 2 x$ D、若 $y = \ln x - \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

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