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1、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 $\cdot$ 商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 $a_{n}$ 个球，从上往下n层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{4} = 20$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $a_{n} \geq l n (n$ ! $) + n$

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2、已知实数 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ，将这7个数适当排列成一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{7}$ ，满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} > a_{4} > a_{5} < a_{6} < a_{7}$ ，则满足要求的排列的个数为（）

A、58 B、71 C、85 D、96

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3、已知公比为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 1$ ， $S_{4} = 5$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n$ ， $α / / β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = - 2$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{10} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、16 D、18

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6、对于两个平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，如果有 $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} > 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的“迷你向量”．

(1)、若 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (2, 1 - x)$ ， $\vec{m}$ 是 $\vec{n}$ 的“迷你向量”，求实数x的取值范围；

(2)、一只蚂蚁从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $N (n, n)$ 处（ $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为 $P_{i} (1 \leq i \leq 2 n)$ ，设 $M (n - 1, 0)$ ．记事件 $T =$ “蚂蚁经过的路径中至少有n个 $P_{i}$ 使得 $\vec{O M}$ 是 $\vec{O P_{i}}$ 的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①写出从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $A (3, 1)$ 的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为： $C_{n}^{m} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - m + 2) \cdot (n - m + 1)}{m \cdot (m - 1) \cdot (m - 2) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1}$
②当 $n = 3$ 时，求 $P (T)$ ；
③证明： $P (T) \leq \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，PC垂直平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $P C = A B = 2$ ， E是线段PB上的动点．

(1)、证明： $A C ⊥ C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A B - C$ 的正弦值；

(3)、若 $P D$ ∥平面 $A C E$ ，求点E的位置．

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8、复数z满足 $z^{2}$ 为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)、已知 $|z| = 2$ ，求复数z；

(2)、已知 $z = 1 + i$ ，复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ 所对应的向量为 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，已知 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{b} + \vec{c})$ ，求λ的值．

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9、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，将 $△ B A C$ 沿直线 $A C$ 翻折至 $△ B_{1} A C$ 的位置，当三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的体积最大时，则三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球的半径为．

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10、已知 $a, b \in R$ ， $a + b i = i^{4} - 3 \cdot i^{2025}$ （i为虚数单位），则 $a + 2 b =$ ．

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11、已知 $\vec{a} = (x, - 2)$ ， $\vec{b} = (5, - 7)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点F的轨迹的线段为 $2 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、若过A、M、 $C_{1}$ 三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最大值为 $2 \sqrt{3}$

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13、若 $m$ ， $n$ 为空间中两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$

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14、若复数z满足 $z = 1 - i$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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15、如图1，图2，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A B$ 的中点．

(1)、图1中求证： $A C_{1} / /$ 平面 $M B_{1} C$ ；

(2)、图1中求二面角 $A_{1} - C M - A$ 的正切值；

(3)、图2中，已知 $A B = 2$ ， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $D_{1} N$ 上的动点，过 $M C$ 且与 $D P$ 垂直的截面 $α$ 与 $D P$ 交于点 $E$ ，求三棱锥 $P - M C E$ 的体积的最小值．

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16、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 - b \cos C = c \cos B$ ．

(1)、求b；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $2 \vec{B D} = \vec{D A}$ ，求 $|\vec{C D}|$ 的取值范围.

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17、已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、设 $x \in (0, π)$ ，且 $\tan (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{2}$ ， $5 f (α) = 6 f (x)$ ，求 $x$ 的值．

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18、某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求 $x$ 的值；

(2)、估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．

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19、在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，表示 $\vec{B E}$ ，并求 $|\vec{B E}|$ ；

(2)、若 $\vec{B F} = t \vec{B C}$ ， $\vec{A F} ⊥ \vec{B E}$ ，求实数 $t$ 的值．

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20、如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得 $B C = 20 m$ ， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则A，B两点间的距离为m．

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