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相关试卷

1、如图，圆台上底面圆 $O_{1}$ 半径为1，下底面圆 $O_{2}$ 半径为 $\sqrt{2}$ ， AB为圆台下底面的一条直径，圆 $O_{2}$ 上点C满足 $A C = B C$ ， $P O_{1}$ 是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面 $A B O_{1}$ 的同侧，且 $P O_{1} // B C$ ．

(1)、证明： $O_{1} O_{2} / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若圆台的高为2，求直线PB与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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2、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、设与 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向相同的单位向量为 $\vec{e}$ ，求向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量．

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3、设函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(- 1, 7)$ 上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．

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4、在复平面内，已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 3$ ，且 $| z_{1} - z_{2} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $| z_{1} + z_{2} | =$ .

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5、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则正三棱柱外接球的表面积为 $28 π$ B、若 $A B = \sqrt{3}$ ，在正三棱柱中放一个最大的球，该球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、若往正三棱柱中装水，当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过AC，BC， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高度为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、若D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，E是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则 $A E ⊥ D B_{1}$

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6、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，以下关于直线 $B O$ 的结论正确的有（）

A、与平面 $A C D_{1}$ 平行 B、与直线 $A C$ 垂直 C、与直线 $A D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、与平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（）

A、 $A B ⊥ E F$ B、 $C D // M N$ C、MN与AB是异面直线 D、BF与CD成 $0 °$ 角

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8、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D, F B / / E D, A B = E D = 3 F B = 3$ ，则三棱锥 $F - A C E$ 的体积为（）

A、12 B、6 C、 $\frac{3 \sqrt{66}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{59}}{4}$

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9、在 $△ A B C$ 中，点O满足 $\vec{B O} = 2 \vec{O C}$ ，过点O的直线分别交射线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点M，N．设 $\vec{A M} = \frac{1}{m} \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{n} \vec{A C}$ ，则 $m^{2} + n$ 的最小值是（）

A、3 B、1 C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{23}{16}$

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10、若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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11、如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ ，则原三角形 $O A B$ 的面积等于（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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12、已知分段函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ | x - 1 |, x > 0 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = 1$ 的解的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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13、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ $(k \in R)$ 与向量 $\vec{n} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ $(k \in R)$ 共线，则（）

A、 $k = 0$ B、 $k = \pm 2$ C、 $k = 2$ D、 $k = - 2$

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14、若 $a, b$ 是异面直线，且 $a / /$ 平面 $α$ ，那么 $b$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、 $b / / α$ B、 $b$ 与 $α$ 相交 C、 $b \subset α$ D、以上三种情况都有可能

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15、已知集合 $U = \{x| 0 < x < 10\}$ ， $A = \{x| 1 < x < 5\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $∁_{U} (B \cup A) =$ （）

A、 $(0, 5)$ B、 $(1, 2)$ C、 $[5, 10)$ D、 $(0, 1] \cup [2, 10)$

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16、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的某一项 $a_{k}$ ，若存在 $m \in N^{*}$ ，有 $a_{k} < a_{k + m} (k \in N^{*})$ 成立，则称 $a_{k}$ 具有性质 $P (m)$ .
（1）设 $a_{n} = |n - 3| (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ ， $a_{k}$ 都具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的最小值；
（2）设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = - 2$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ 数列 $\{S_{n}\}$ 中的项 $S_{k}$ 都具有性质 $P (7)$ ，求实数 $d$ 的取值范围；
（3）设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ 时，存在 $i (1 \leq i \leq n - 1, i \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 2 a_{i}$ ，且此数列中恰有一项 $a_{t} (2 \leq t \leq 99, t \in N^{*})$ 不具有性质 $P (1)$ ，求此数列的前 $100$ 项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的 $t$ 的值.

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17、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和2的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{k} = a_{k} \cdot (a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{n}) (1 \leq k \leq n)$ ；
①求数列 $\{b_{k}\} (1 \leq k \leq n)$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
②设 $M (n) = \frac{2}{T_{1}} + \frac{2^{2}}{T_{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{T_{n}} (n \in N^{*})$ ，是否存在常数 $c$ ，使 $M (n) < c$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $c$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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18、已知函 $f (x) = 3 \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x (ω > 0)$ ．
（1）当 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ 时，求 $ω$ 的值；
（2）当 $ω = 1$ 时，设 $△ A B C$ 的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知 $f (\frac{A}{2}) = 3$ ，且 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [- π,π]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{11}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、计算 $\sum_{k = 1}^{20} a_{3 k - 2}$ ．

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