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相关试卷

1、已知平面α的一个法向量为 $\vec{a} = (x, 3, 2)$ ，平面β的一个法向量为 $\vec{b} = (- 1, y, 1)$ ，若 $α ∥ β$ ，则 $x + y =$ .

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、存在点Q，使得BQ $⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、在棱 $A_{1} B_{1}$ 上存在点Q，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ C、在线段 $B_{1} D_{1}$ 上存在点 $Q$ ，使得直线 $C Q$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、存在点 $Q$ ，使得三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积为2

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3、在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 在直线l上， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是边长为1的等边三角形， $\overset{⌢}{C_{1} A_{2}}$ 是以点 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} C_{1}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{2} B_{2}}$ 是以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} A_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{B_{2} C_{2}}$ 是以点 $C_{1}$ 为圆心， $C_{1} B_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{C_{2} A_{3}}$ 是以点 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} C_{2}$ 为半径的圆弧，依次类推（其中点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ，共线，点 $B_{1}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，共线，点 $C_{1}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（）

A、 $30π$ B、 $44π$ C、 $52π$ D、 $70π$

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4、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，若双曲线渐近线的斜率均小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1} \cdot e_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{5})$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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5、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 1)$ ， D是平面 $A B C$ 内一点，若 $\vec{O D} = x \vec{O A} + y \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $|\vec{O D}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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6、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 及点 $A (1, 0)$ ，在圆 $C$ 上任取一点 $P$ ，连接 $C P$ ，将点 $P$ 折叠到点A，记 $C P$ 与折痕 $l$ 的交点为 $M$ （如图）. 当点 $P$ 在圆 $C$ 上运动时，点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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7、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\vec{a}$ C、 $- \sqrt{3} \vec{b}$ D、 $\sqrt{3} \vec{b}$

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8、已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 y + m = 0$ 外切，则 $m =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、7 D、13

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9、与直线 $2 x - y - 1 = 0$ 关于x轴对称的直线方程为（）

A、 $2 x + y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 1 = 0$ D、 $x + 2 y + 1 = 0$

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10、直线 $y = \sqrt{3} x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, 1)$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(1, - 2, 2)$ B、 $(1, 2, - 2)$ C、 $(1, - 2, - 2)$ D、 $(- 1, - 2, 2)$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明）；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围．

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13、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ，现将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成直二面角 $P - A C - B$ .

(1)、证明： $C B ⊥$ 面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1} = 10$ ，公差 $d > 0$ ，且22， $a_{3} + 8$ ， $a_{4} + 6$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2^{n}$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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15、已知点P，Q分别是拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 和圆 $E : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上的动点，若抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则 $2 | P Q | + | Q F |$ 的最小值为

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16、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, \vec{b} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则 $k =$ .

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17、已知复数 $z = \frac{2 cos θ + isin θ}{1 + i} (θ \in R)$ 的实部为0，则 $tan 2 θ =$ ．

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18、下列说法中正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 B、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | = 1$ C、 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ （m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D、若复数z满足若 $z \in C$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 - 4 i |$ 的最小值为4

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19、将 $n^{2} (n \geq 3)$ 个互不相等的数排成下表：
记 $M_{i} = max \{a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}\}, n_{j} = min \{a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{n j}\}, m = min \{M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}\}$ ， $N = max \{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{n}\}$ ，则下列判断中，一定不成立的是（）
（注： $max \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}, min \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 分别表示集合 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 最大值和最小值．）

A、 $M_{2} < n_{2}$ B、 $M_{2} < n_{3}$ C、 $m < a_{23}$ D、 $m < N$

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20、分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在 $20$ 世纪 $70$ 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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