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相关试卷

1、若关于x的不等式 $a x e^{x} - x - \ln x \geq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数a的最小值是．

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2、若函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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3、下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} < sin x_{1} - sin x_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} > sin x_{1} - sin x_{2}$ C、若 $e < x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} ln x_{1} < x_{1} ln x_{2}$ D、若 $e < x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} ln x_{1} > x_{1} ln x_{2}$

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4、如图是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值

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5、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{3}, 2)$ 内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）

A、 $(9, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 9)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4})$

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6、已知 $A (0, 4)$ ， $B (0, - 4)$ ， $C (4, 0)$ ， $E (0, 1)$ ， $F (0, - 1)$ ，一束光线从F点出发射到 $B C$ 上的D点经 $B C$ 反射后，再经 $A C$ 反射，落到线段 $A E$ 上（不含端点），则 $F D$ 斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{8})$ B、 $(- \frac{5}{8}, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{8})$ D、 $(- \frac{3}{8}, 0)$

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7、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 0, 2, 5\}, B = \{x ∣ x^{2} < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 2\}$ D、 $\{0, 2, 5\}$

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8、已知：偶函数 $f (x)$ 定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 且 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ 上有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ . $(x_{1} \neq x_{2})$ ，若 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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9、如图，已知 $A B$ 是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A, B$ 的动点， $C D$ ， $B E$ 是圆柱的两条母线．

(1)、求证： $A C D ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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10、已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $|P O| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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11、已知无穷数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且 $a_{n} + a_{n + 2} \geq 2 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、请判断如下两个结论是否正确：
① $a_{4} - a_{2} \geq a_{3} - a_{1}$ ；② $3 (a_{7} - a_{6}) \geq a_{6} - a_{3}$ ；

(2)、当 $k < m < n$ $(k, m, n \in N^{*})$ 时，证明： $(n - m) a_{k} + (m - k) a_{n} \geq (n - k) a_{m}$ ；

(3)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{k} \leq 1 (k \in N^{*}, k \geq 3)$ ，证明： $a_{k} - a_{k + 1} < \frac{2}{k (k + 1)}$ .

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12、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， 1)$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆E的方程及离心率；

(2)、若直线l： $y = k x + 2$ 与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B ⊥ B C$ ， $A D //$ 平面 $P B C$ ， $P A = A C = 2$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.

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14、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为 $\frac{3 p}{2}$ .

(1)、求直线l的斜率；

(2)、若 $| A B | = 9$ ，求 $p$ 的值.

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15、已知圆C经过点 $M (4, 0)$ ，且圆心C是直线 $x - y + 2 = 0$ 与 $y$ 轴的交点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形 $C A M B$ 为菱形，求直线l的方程.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = - 7$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 的最小值，以及 $S_{n}$ 取得最小值时n的值.

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17、已知方程 $y (y - x) = 2$ 所表示的曲线为C.给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线 $y = x$ 为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则r的最小值为 $\sqrt{2}$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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18、已知点 $F (0, 1)$ ，直线 $l : y = - 1$ ，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为；若直线 $y = k x$ 及 $y = - k x$ 分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F时， $k =$ .

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19、在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，M，N分别是 $A B, C D$ 的中点，则 $| M N | =$ .

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20、直线 $l$ ： $x + y + 2 = 0$ 被圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦AB的长为.

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