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相关试卷

1、关于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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2、已知函数 $f (x) = 3 \cos x (x \in [0, π])$ 的图象与函数 $g (x) = 8 \tan x$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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3、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, π)$ ，且 $tan (α - β) = \frac{1}{2}, tan β = - \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β$ 的值是（）

A、 $- \frac{3 π}{4}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$ 或 $\frac{π}{4}$

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4、已知 $cos θ - sin θ = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 4 θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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5、已知 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 B、 $\sin \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α < 0$ D、 $2 α$ 是第三或第四象限角

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6、已知 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 5$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{10} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{10} \vec{b}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{b}$

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7、已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = 90 °$ ，若 $P Q$ 为圆心为 $A$ 的单位圆的一条动直径，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围是．

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9、如图，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = 3 A D$ ，点E为线段 $C D$ 中点，点F为线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{F E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，记 $g (x) = f (x) + t \cdot f (- x)$ （ $x \in R$ ）.

(1)、若 $t = - 3$ ，解不等式： $g (x) \geq 2$ ；

(2)、设 $k$ 为实数，当 $t = 1$ 时，若存在实数 $x_{0} \in (1, 2]$ ，使得 $g (2 x_{0}) = k \cdot g^{2} (x_{0}) - 3$ 成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、记 $h (x) = f (2 x + 2) + a \cdot f (x) + b$ （其中 $a$ 、 $b$ 均为实数），若对于任意的 $x \in [0, 1]$ ，均有 $|h (x)| \leq M$ ，求正数 $M$ 的最小值及此时 $a$ 、 $b$ 的值.

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11、一般地，设A，B分别为函数 $y = f (x)$ 的定义域和值域，如果由函数 $y = f (x)$ 可解得唯一 $x = φ (y)$ 也是一个函数 $($ 即对任意一个 $y \in B$ ，都有唯一的 $x \in A$ 与之对应 $)$ ，那么就称函数 $x = φ (y)$ 是函数 $y = f (x)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y) .$ 在 $x = f^{- 1} (y)$ 中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成 $y = f^{- 1} (x) (x \in B ， y \in A)$ 的形式.比如：函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 的反函数求法为：第一步：反解： $∵ y = x^{2} (x \geq 0)$ ， $∴ x = \sqrt{y}$ ；第二步：互换字母： $∴ y = \sqrt{x}$ ；第三步：求定义域：易知原函数 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 值域为 $y \geq 0$ ，故反函数定义域为 $x \geq 0$ ，反函数为 $y = \sqrt{x} (x \geq 0) .$ 记函数 $y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 的反函数为 $y = g (x)$ ，且有函数 $y = h (x)$ 满足 $g (x) + h (x) = e^{x} ($ 其中e为自然对数的底数 $) .$

(1)、求函数 $g (x)$ ， $h (x)$ ；

(2)、若关于x的不等式 $λ h (2 x) + h (x) \geq - g^{2} (x) - λ^{2} + 1$ 对 $x \in [- ln 2, ln 2]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $g (x) + 3 h (x) = k$ 有两根 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{2} > x_{1})$ ，求 $\frac{{(e^{x_{1}} + 1)}^{2} + {(e^{x_{2}} - 1)}^{2}}{{(x_{1} + x_{2})}^{2}}$ 的最小值.

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12、为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为 $5 %$ ）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量 $Q$ （百件）与销售价格 $P$ （元）的关系如下图（每段图象为直线段， $A (140 ， 22)$ ， $B (200 ， 10)$ ， $C (260, 4)$ ）.

(1)、请写出月利润L关于P的函数关系式；

(2)、当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；

(3)、该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 $?$
$($ 参考数据： ${1.05}^{8} \approx 1.48$ ， ${1.05}^{9} \approx 1.55$ ， ${1.05}^{10} \approx 1.63$ ， ${1.05}^{11} \approx 1.71, {1.05}^{43} \approx 8.15, {1.05}^{44} \approx 8.56)$

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O是坐标原点，角 $α$ 的终边 $O A$ 与单位圆的交点为 $A$ ，射线 $O A$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $θ$ 弧度后交单位圆于点 $B$ ，记点 $B$ 的纵坐标 $y$ 关于 $θ$ 的函数为 $y = f (θ)$ ，终边 $O B$ 对应角 $β .$

(1)、若 $A (m, - \frac{1}{2})$ ， $m < 0$ ，求 $α$ ；

(2)、对（1）中 $α$ ，若 $f (θ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ ， $θ \in (π, \frac{4 π}{3})$ ，求 $t a n θ$ ；

(3)、若 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ ， $A$ 的纵坐标为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B$ 的横坐标为 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $θ - α$ .

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14、已知定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{4 - x^{2}}$ 图象关于原点对称，且 $f (- 1) = - \frac{1}{3} .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (3^{x} - 1) - \frac{1}{3} > 0.$

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15、已知函数 $f (x) = - x^{2} - p x + q$ ， $A = \{x |f (x) > 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{3 - 2 x}{2 x + 1} > 0\} .$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A = B$ ，求p，q的值；

(3)、若 $f (1) = 0$ ，求 $A .$

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16、已知函数 $y = f (x)$ 满足：① $f (x) = f (- x)$ ；② $\forall x y \neq 0$ ， $f (\frac{x}{y}) = \frac{f (x)}{f (y)}$ ；③ $\forall x \neq y$ ， $f (\frac{x + y}{2}) < \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ，请写出一个你认为符合上述要求的函数.

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17、已知 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0)$ ， M，N是直线 $y = - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 最近的两个交点，且 $|M N| = \frac{2 π}{9}$ ，则 $ω$ 的值为.

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18、 $\tan \frac{23 π}{6} =$ .

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19、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ ，则（）

A、若 $ω = 1$ ，则对称轴方程为 $x = - \frac{3 π}{4} + k π$ ， $k \in Z$ B、若 $ω = 3$ ，则函数 $f (x)$ 向左移动 $\frac{π}{4}$ 得到 $y = sin 3 x$ C、函数 $f (x)$ 周期为 $T = \frac{2 π}{2 k + 1}$ ， $k \in Z$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 最大值为9

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20、下列命题正确的是（）

A、不存在函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B、命题“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $ln x = x - 1$ ”的否定是“ $\forall x \notin (0, + \infty)$ ， $ln x = x - 1$ C、已知 $α$ ， $β$ 是第一象限角，则“ $α > β$ ”是“ $sin α > sin β$ ”的充要条件 D、 $△ A B C$ 三个内角A，B，C满足 $cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}$

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