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相关试卷

1、已知 $a, b, c \in R$ ，则下列不正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}, c < 0$ ，则 $a < b$ B、若 $a > 0, b > 0$ ，则 $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ C、若 $a > b, a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > 0, b > 0, m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$

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2、已知圆心为 $C$ 的圆经过 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $(x ， y)$ 在圆 $C$ 上．求 $x + y$ 的最大值；

(3)、线段 $P Q$ 的端点 $P$ 的坐标是 $(5, 0)$ ，端点 $Q$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $P Q$ 中点 $M$ 的轨迹方程．

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3、已知正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，则（）

A、 $x^{2} + y$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为8 C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $\log_{2} x + \log_{4} y$ 没有最大值

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4、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{B O}$ ， $M$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点， $N$ 为线段 $A M$ 上的动点，且 $\frac{M N}{M O} = \frac{M O}{M A}$ ，则线段 $M N$ 长度的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5、若点 $A (2, 1)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m x - 2 y + 5 = 0$ （ $m$ 为常数）外，则实数 $m$ 的可能取值为.

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6、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 3, ∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B$ $= 60 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{B C}$ 的值.

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7、对 $\forall x \in R, [x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[3.14] = 3, [- 2.7] = - 3$ ，我们把 $y = [x], x \in R$ 叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（）

A、 $\exists x, y \in R, [x - y] < [x] - [y]$ B、 $\forall x, y \in R$ ，若 $[x] = [y]$ ，则 $x - y < 1$ C、 $\forall x \in R, [| x |] = | [x] |$ D、不等式 $2 {[x]}^{2} - [x] - 3 \geq 0$ 的解集为 $(- \infty, 0) \cup [2, + \infty)$

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8、若过点 $(0, 0)$ 的直线是曲线 $y = x^{2} + 1 (x > 0)$ 和曲线 $y = \ln x - \frac{a}{x + 1} + a$ 的公切线，则 $a =$ ．

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a, b, c$ 成公比为q的等比数列．

(1)、求q的取值范围；

(2)、求 $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$ 的取值范围．

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10、已知点 $A (3, 2, - 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, 4, 3)$ ，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 6, 5, 4)$ B、 $(3, - 2, 7)$ C、 $(- 1, 2, 6)$ D、 $(- 6, 1, - 3)$

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、四面体 $B D C_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、平面 $B D A_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成二面角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12、已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）

A、25 B、23 C、21 D、19

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13、对于直线 $l : (m - 1) x + y - 2 m + 3 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、直线l恒过点 $(2, - 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线l在y轴上的截距为3 C、若直线l不经过第二象限，则 $m \in (1, \frac{3}{2})$ D、坐标原点到直线l的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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14、下列求导运算正确的是（）

A、若 $f (x) = \cos (2 x + 1)$ ，则 $f^{'} (x) = 2 \sin (2 x + 1)$ B、若 $f (x) = e^{- 2 x + 3}$ ，则 $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x + 3}$ C、若 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 + x}{e^{x}}$ D、若 $f (x) = x \lg x$ ，则 $f^{'} (x) = \lg x + \frac{1}{\ln 10}$

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15、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 $b = 3$ .

(1)、若离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，且 $a$ 取最大值， $Q$ 为 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点， $Q$ 也异于 $A$ 点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，试问以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点，并说明理由.

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16、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A B = 4$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将梯形 $A B C D$ 沿着 $A E$ 翻折成 $B_{1} - A E C D$ ，使 $B_{1} D = \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $B_{1} M ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、求平面 $B_{1} C E$ 与平面 $B_{1} A D$ 夹角的正弦值；

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17、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (1, \sqrt{3} sin B - cos B)$ ， $\vec{n} = (cos A, cos C)$ ， $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{2 b}{c}$ 的取值范围.

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18、已知圆 $C$ 经过点 $A (1, 1)$ 和原点，且圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程：

(2)、过点 $B (2, 2)$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程.

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19、为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为 $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35]$ ，频率分布直方图如图所示.

(1)、估计样本数据的75%分位数；

(2)、从产品数量在 $[20, 25)$ 和 $[30, 35)$ 的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少.

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20、已知定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y) + 2$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > - 2$ ，则不等式 $f (2) + f (x - 2) < f (- 1) - 2$ 的解集为.

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