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相关试卷

1、短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.

(1)、依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计

(2)、为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 $i$ 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 $m$ 次传递中球传到乙的次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ； $E (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} E (X_{i})$
附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、已知函数 $f (x) = ln (a x) + (a - 1) x - e^{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) < - 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、由四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $D_{1} - A_{1} D C_{1}$ 后得到如图所示的几何体，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 4, B D = 2, O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B_{1} O$ $/ /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $O - A_{1} C_{1} - D$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求平面 $A_{1} D C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的大小.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (cos C + 1) = c (2 - cos B)$ .

(1)、证明： $a + b = 2 c$ ；

(2)、若 $c = 5, cos C = \frac{9}{16}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 3) = 0.66$ ，则 $P (X < 1) =$ .

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6、某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度 $h$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）存在函数关系 $h (t) = - 2 t^{2} + 6 t + 9$ ，则该小球在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为m/s.

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7、已知曲线 $C : y |y| = 4 x |x| + 4$ ，则（）

A、曲线 $C$ 在第一象限为双曲线的一部分 B、曲线 $C$ 的图象关于原点对称 C、直线 $y = 2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点 D、存在过原点的直线与曲线 $C$ 有三个交点

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8、关于二项式 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{3}$ 的展开式，下列说法正确的有（）

A、有3项 B、常数项为3 C、所有项的二项式系数和为8 D、所有项的系数和为0

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9、已知 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 8$ ，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，则 ${(x_{1} + x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2}$ 的最大值为（）

A、9 B、12 C、36 D、48

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, 8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，若 $λ \geq S_{n}$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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11、若 $f (x) = \ln (x^{2} + 1) - \frac{1}{| x |}$ ，设 $a = f (- 3), b = f (\ln 2), c = f (2^{0.3})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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12、若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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13、已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a // b$ B、若 $a // b ， a // α$ ，则 $b // α$ C、若 $a // α ， b // α ， c ⊥ a$ ，且 $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ D、若 $β ⊥ α ， γ ⊥ α$ ，且 $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$

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14、函数 $g (x) = 3^{x}$ ，函数 $f (x) = 1 - \frac{a}{g (x) + 1}, a \in R$ ，已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、解不等式： $g (2 x) - g (x) \leq 6$ ；

(2)、求 $a$ 的值，并判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性（不用证明）；

(3)、若存在 $x \in [\frac{1}{3}, 3]$ 使 $f (x + \frac{1}{x}) \leq f (k x + 4)$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = sin x cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的最值；

(3)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{2}{3}$ ，求 $sin (2 α + \frac{5 π}{6})$ 的值.

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16、已知集合 $A = {x | m < x < 2 m}$ （其中 $m \in R$ ）， $B = \{x |\frac{x + 5}{x - 4} < 0\}$

(1)、求 $∁_{R} B$ ；

(2)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(3)、若 $A \cap (∁_{R} B) = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、如图所示，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边与单位圆 $O$ 分别交于 $P, Q$ 两点，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $sin α - sin β$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (\frac{π}{2} - α) \cdot tan (π + 2 β)}{sin (2 π + α)}$ 的值.

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18、若函数 $f (x) = (m + 3) a^{x} (m \in R, a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是指数函数，其图象过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则函数 $g (x) = {log}_{a} (x^{2} + m x - 3)$ 的单调递增区间为.

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19、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \leq 1 \\ ln x, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (\sqrt{e})) =$ .

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20、已知弧长为 $π$ 的弧所对的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该弧所在的扇形面积为.

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游客	短视频		合计
游客	收看	未看	合计
南方游客
北方游客
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828