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相关试卷

1、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 3, A A_{1} = 1, M$ 为棱 $B C$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 上的动点，满足 $∠ A P D = ∠ C P M$ ，给出下列四个结论：
①动点 $P$ 的轨迹是一段圆弧；
②动点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{3}$ ；
③动点 $P$ 的轨迹与线段 $C C_{1}$ 有且只有一个公共点；
④三棱锥 $P - A D D_{1}$ 的体积的最大值为 $\frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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2、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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3、用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 $75 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底 $A D$ ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 $60 °$ ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

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4、（1）在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ .求角A，C的大小；
（2）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4, b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为 $X$ ．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、求 $E (X)$ 和 $D (X)$ ；

(3)、求计算机网络不会断掉的概率．

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6、已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （其中 $a$ ， $b$ 为常量，且 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $b \neq 0$ ）的图象经过点 $A (1, 10)$ ， $B (2, 50)$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值 $;$

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $b^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x} \geq m + 3$ 在 $[- 2, 2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围．

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7、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - |x|$ ，则（）

A、 $f (2025) = 0$ B、 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上单调递增 C、 $y = f (x - 5)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = lg x$ 仅有5个不同实数解

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8、如果数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 1}$ B、 $a_{n} = 2 n - 1$ C、 $a_{n} = 2 n^{2} - 5 n$ D、 $a_{n} = 2^{n} - 1$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = \{\begin{cases} 2 - x, 1 < x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + 4, x > 2 \end{cases}$ ，函数 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有的根之和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、函数 $y = (\sin x) \ln \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11、将有穷数列 $\{a_{n}\} (n \geq 3)$ 任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为 $\{a_{n}\}$ 的伴随数列．若 $\{a_{n}\}$ 的伴随数列是公差不为0的等差数列，称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质 $P$ ；

(2)、若递增数列1，3， $x$ ， $y$ （ $x$ ， $y \in N^{*}$ ）具有性质 $P$ ，求 $x$ 和 $y$ 的值；

(3)、若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，求 $n$ 的最大值．

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12、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3, \sqrt{2})$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为直线l： $x + y = 1$ 上且不在x轴上的一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{3}{k_{2}}$ 为定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = B C$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、证明： $P D ⊥$ 平面ABE；

(3)、求二面角 $A - B E - C$ 的余弦值．

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14、已知直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于M，N两点， $|M N| = 8 \sqrt{15}$ ， O为坐标原点．

(1)、求p；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 作直线l交抛物线 $C_{1}$ 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积．

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15、设 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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16、已知动圆P与圆 $F_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 81$ 相切，且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为．

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17、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点P满足 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} D_{1}} (λ \in R, λ \in [0, 1])$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $\exists λ \in [0, 1]$ ，使直线 $A_{1} P ⊥$ 平面 $P B_{1} B$ B、 $\forall λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，点P到AC的距离为 $\sqrt{5}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $11 π$

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18、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 B、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 C、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 D、若各项为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列

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19、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则下列命题中正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3, 1)$ B、圆 $C$ 被y轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 恒相交 D、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最小时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 5 = 0$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n}^{2}$ ， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{2025} \frac{1}{a_{i} + 1} \in [m, m + 1)$ ， $m \in N^{*}$ ，则m等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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