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相关试卷

1、 $U$ 盘，全称USB闪存驱动器，它是一种使用USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的 $U$ 盘，其中银色 $U$ 盘4个，黑色 $U$ 盘3个，从中任取2个 $U$ 盘.

(1)、求取出的2个 $U$ 盘都是黑色 $U$ 盘的概率；

(2)、如果是4个银色 $U$ 盘， $n$ 个黑色 $U$ 盘 $(n \in N^{*})$ ，已知取出的2个 $U$ 盘都是银色的概率为 $\frac{2}{5}$ ，那么 $n$ 是多少？

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2、已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x + y + 5 = 0$ 和 $x - 2 y - 5 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $x - 3 y + 1 = 0$ ，圆 $C$ 经过三点 $(- 2, 0), (2, 0), (1, 1)$ .

(1)、求直线 $l$ 与圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长.

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3、江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 (x \geq 0)$ 和半椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 (x \leq 0)$ 围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点 $F$ 为半椭圆 $C_{2}$ 的焦点，过原点 $O$ 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于点 $A$ ，交 $C_{2}$ 于点 $B$ ，则|AB|的最大值为；点 $P$ 是 $C_{2}$ 上一点，点N是半圆与 $x$ 轴的交点（如图2所示），点 $M (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则 $| P N | + | P M |$ 的最大值为.

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4、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (2, 6, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B$ ，点 $C (1, 1 - 2 m, 2)$ 关于 $y O z$ 平面的对称点为 $D$ ，若 $\vec{O B} // \vec{O D}$ ，则 $m =$ .

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5、数据9，15，13，11，12的方差是.

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6、已知单位向量 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 两两的夹角均为 $θ (0 < θ < π, θ \neq \frac{π}{2})$ ，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $O - x y z$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 $\vec{a} = (x, y, z) θ$ ，则下列命题是真命题的为（）

A、若 $\vec{a} = (2, d, 1) \frac{2 π}{3}, \vec{b} = (2, 3, 0) \frac{2 π}{3}, \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $d = \frac{3}{4}$ B、若 $\vec{a} = (0, \sqrt{2}, 4) \frac{3 π}{4}$ ，则 $| \vec{a} | = \sqrt{26}$ C、若 $\vec{O A} = (- 1, 1, 3) θ, \vec{O B} = (1, 1, 3) θ, \vec{O C} = (1, 1, - 1) θ, \vec{O P} = (3, 1, 1) θ$ ，则不论 $θ$ 取何值， $P, A, B, C$ 四点都共面 D、若 $\vec{O A} = (1, 1, - 1) \frac{π}{3}, \vec{O B} = (1, - 1, 1) \frac{π}{3}, \vec{O C} = (- 1, 1, 1) \frac{π}{3}$ ，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，O为原点，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程是 $x = - 1$ B、若 $| P F | = 4$ ，则 $y_{0} = 3$ C、过点 $M (1, 1)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $| A B | = \sqrt{15}$ D、点 $Q$ 是直线 $y = - x - 3$ 上一动点，则|PQ|的最小值是 $\sqrt{2}$

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8、一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量（单位：kg），结果如下：
$\begin{array}{l} 93 & 106 & 117 & 101 & 80 & 85 & 104 & 90 & 90 & 116 \end{array}$
下列说法正确的是（）

A、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98 C、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104

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9、如图，在棱长为 $1$ 的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，且 $\vec{M A}$ 在 $\vec{C N}$ 方向上的投影向量为 $μ \vec{C N}$ ，则 $μ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、已知点 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为边作等边三角形 $A F_{1} F_{2}$ ，线段 $A F_{1}, A F_{2}$ 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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11、某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{29}{120}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{31}{120}$

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12、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到直线AE的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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13、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法判断

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14、已知 $\vec{a} = (2, 1, 2), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{65}$ C、11 D、 $\sqrt{113}$

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15、直线 $l : \sqrt{6} x + \sqrt{2} y + 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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16、为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（）

A、18 B、16 C、15 D、9

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17、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2}), E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = 0$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2．

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18、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, B C = 2 A B = 2 A D = 4, A B ⊥ B C$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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19、设 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $|\vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B}| = 2 |\vec{O A} - \vec{O B}|$ 的点 $C (x, y), |x - 2 y + m| + |x - 2 y - 7|$ 的值与 $x, y$ 无关，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) \cup [13, + \infty)$

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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