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相关试卷

1、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $|a_{7}| = |a_{12}|$ 且公差 $d > 0$ ，则其前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值时 $n$ 的值为

A、7 B、8 C、9 D、10

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2、已知数列 $2, \sqrt{6}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{10}, 2 \sqrt{3}, \dots, \sqrt{2 (n + 1)}, \dots$ ，则 $\sqrt{42}$ 是这个数列的（）

A、第17项 B、第18项 C、第19项 D、第20项

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3、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M}$ 可表示为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4、直线 $x + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $0$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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5、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，两焦点和短轴一个端点构成边长为 $2$ 的正三角形．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，不过原点 $O$ 直线 $l_{2}$ ： $y = k x + n$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ．记直线 $O P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ．
①求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
②若 $O$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 四点围成的四边形为平行四边形，求 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ P A B}}$ 的值．

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6、已知菱形 $A B C D$ 如图①所示，其中 $A B = 4$ 且 $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，现沿 $A C$ 进行翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，再过点 $B$ 作 $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $B E = \frac{\sqrt{3}}{4} A B$ ，所得图形如图②所示．

(1)、求五面体 $A B C D E$ 的体积；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P$ 与平面 $A D E$ 所成角为 $θ$ ，求 $sin θ$ 的最大值．

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7、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $c > 0$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 与圆 $E : {(x - \frac{c}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{9}$ 相切，则双曲线的离心率是．

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $A C ， A_{1} B$ 的中点，则（）

A、 $M N / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、 $M N ⊥ A C_{1}$ C、直线 $M N$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $\vec{A_{1} E} = 2 \vec{E B_{1}}$ ，则平面 $M ， N ， C_{1} ， E$ 四点共面

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9、甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布 $N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（）
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ .

A、乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B、甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C、甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D、若 $σ_{1} = 5$ ，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

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10、若 $\tan (α + β) = 7, \frac{\tan^{2} α - \tan^{2} β}{1 - \tan^{2} α \tan^{2} β} = 21$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{10}{21}$ D、 $\frac{21}{10}$

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11、圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为 $2 cm$ ，下底面半径为 $3 cm$ ，圆台母线长为 $4 cm$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $28 {πcm}^{2}$ B、 $36 {πcm}^{2}$ C、 $42 {πcm}^{2}$ D、 $48 {πcm}^{2}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 6, 8)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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13、设 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $|z - \bar{z}| =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、0

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14、已知集合 $A = \{x \in R ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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15、函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义， $f (x)$ 称为 $I$ 上的下凸函数，当且仅当 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} ．$
定义2：设函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义， $f (x)$ 称为 $I$ 上的下凸函数，当且仅当 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I (n \in N^{*}),$ 有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n} ．$
将定义1，2中的“ $\leq$ ”改为“ $\geq$ ”，则相应地称函数 $f (x)$ 为 $I$ 上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：

(1)、若 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，试根据定义1证明 $f (x)$ 为 $R$ 上的下凸函数；

(2)、已知 $g (x) = sin x$ 为 $(0, π)$ 上的上凸函数，若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，求 $sin A + sin B + sin C$ 的最大值；

(3)、设 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ 为大于或等于1的实数，证明： $\frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{r_{n} + 1} \geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1} r_{2} \dots r_{n}} + 1}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 2, g (x) = 2 x^{2} - |x - a| (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，在同一直角坐标系中画出函数 $f (x), g (x)$ 的图象；

(2)、 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .当 $a = 0$ 时，求 $m (x)$ 的解析式；

(3)、设 $F (x) = f (x) - g (x)$ ，记 $F (x)$ 的最小值为 $φ (a)$ ，求 $φ (a)$ 的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = 2 a (cos x - \sqrt{3} sin x) cos x$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）的最大值为2．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ ．

(1)、是否存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 为奇函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并加以证明．

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19、已知 $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (0, π)$ ．

(1)、求 $sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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20、已知 $f (x) = a \cdot b^{x} + c$ （其中 $a, b, c$ 为常数）．① $f (0) = 0$ ；②当 $x > 0$ 时， $0 < f (x) < 1$ ．写出满足条件①②的一个函数 $f (x) =$ ．

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